Encontre a Transformada de Laplace Inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace Inversa da expressão . Isso está ligado ao estudo das transformadas de Laplace, que são muito úteis para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar manipular a expressão algébrica e lembrar de algumas fórmulas básicas de transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o denominador . A ideia é simplificar essa expressão para uma forma que a gente reconheça mais facilmente na tabela de transformadas. Para isso, vamos completar o quadrado.

Passo 3

Completando o quadrado no denominador:
Agora, a expressão fica:

Passo 4

Vamos reescrever o numerador de uma maneira que facilite a aplicação da transformada inversa. Note que:
Substituindo na fração:

Passo 5

Agora, vamos lembrar das fórmulas de transformadas de Laplace inversas que vamos usar:
Comparando com nossa expressão, temos e .

Passo 6

Aplicando as fórmulas:

Passo 7

Juntando as duas partes:

Resposta

A Transformada de Laplace Inversa é .

Exercícios relacionados

Se é um diâmetro de uma esfera de centro e raio , e é um terceiro ponto na esfera, mostre, por meio de vetores, que é um triângulo retângulo.
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
Utilizando o produto vetorial, encontre a distância do ponto à reta definida pelo pelos pontos e .
(b) e
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.