Encontre a Transformada de Laplace Inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace Inversa da expressão
. Isso está ligado ao estudo das transformadas de Laplace, que são muito úteis para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar manipular a expressão algébrica e lembrar de algumas fórmulas básicas de transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o denominador
. A ideia é simplificar essa expressão para uma forma que a gente reconheça mais facilmente na tabela de transformadas. Para isso, vamos completar o quadrado.
Passo 3
Completando o quadrado no denominador:
Agora, a expressão fica:
Passo 4
Vamos reescrever o numerador
de uma maneira que facilite a aplicação da transformada inversa. Note que:
Substituindo na fração:
Passo 5
Agora, vamos lembrar das fórmulas de transformadas de Laplace inversas que vamos usar:
Comparando com nossa expressão, temos
e
.
Passo 6
Aplicando as fórmulas:
Passo 7
Juntando as duas partes:
Resposta
A Transformada de Laplace Inversa é
.
Exercícios relacionados
Se
é um diâmetro de uma esfera de centro
e raio
, e
é um terceiro ponto na esfera, mostre, por meio de vetores, que
é um triângulo retângulo.
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
Utilizando o produto vetorial, encontre a distância do ponto
à reta definida pelo pelos pontos
e
.
(b) e
(b)
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.