Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar de algumas fórmulas básicas da transformada de Laplace, especialmente aquelas que envolvem multiplicação por e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da transformada de Laplace para :
Isso nos dá a transformada de uma função seno simples.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de . Existe uma regra na transformada de Laplace que nos ajuda com funções multiplicadas por . Essa regra diz que:
Ou seja, a transformada de vezes uma função é igual à derivada negativa da transformada da função original em relação a .

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função , temos:
Sabemos pela Passo 2 que (aqui ).

Passo 5

Vamos calcular a derivada:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace da função é:

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