Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a transformada de Laplace da função
. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar de algumas fórmulas básicas da transformada de Laplace, especialmente aquelas que envolvem multiplicação por
e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da transformada de Laplace para
:
Isso nos dá a transformada de uma função seno simples.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de
. Existe uma regra na transformada de Laplace que nos ajuda com funções multiplicadas por
. Essa regra diz que:
Ou seja, a transformada de
vezes uma função é igual à derivada negativa da transformada da função original em relação a
.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa função
, temos:
Sabemos pela Passo 2 que
(aqui
).
Passo 5
Vamos calcular a derivada:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Trace a curva
definida por
, indique sua orientação e calcule seu comprimento.
Se
é um diâmetro de uma esfera de centro
e raio
, e
é um terceiro ponto na esfera, mostre, por meio de vetores, que
é um triângulo retângulo.
Encontre a Transformada de Laplace Inversa.