(b) e para todo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que nos diz que a primeira derivada de , , é sempre menor que zero ( ), e a segunda derivada, , é sempre maior que zero ( ) para todo . Nosso objetivo aqui é entender o que isso significa para a função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial relacionados a taxas de variação e concavidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a primeira derivada, . Quando , isso significa que a função está sempre decrescendo. Em outras palavras, conforme aumenta, diminui.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada, . Quando , isso indica que a função é côncava para cima. A concavidade para cima nos diz como a taxa de variação está se comportando. Especificamente, se a concavidade é para cima, a função está “se curvando” para cima, e a taxa de mudança da inclinação da função está aumentando.

Passo 4

Juntando essas informações, temos que está sempre decrescendo e se tornando menos decrescente (porque a concavidade para cima significa que a inclinação está aumentando, mas ainda negativa). Isso pode parecer meio contraditório, mas na prática significa que a função está se aproximando de um certo comportamento assintótico.

Passo 5

Vamos ilustrar isso com um exemplo simples. Imagine a função para . Aqui, a primeira derivada é (que é sempre negativa) e a segunda derivada é (que é sempre positiva). Essa função está sempre diminuindo, mas a taxa de diminuição está diminuindo, pois a inclinação está se tornando menos negativa à medida que aumenta.

Resposta

Então, concluindo, se e para todo , a função está sempre decrescendo e se tornando menos inclinada, ou seja, está diminuindo seu ritmo de queda e é côncava para cima.

Exercícios relacionados

Suponha que a derivada de uma função seja dada por Em que intervalo(s) é crescente?