(b)
e
para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que nos diz que a primeira derivada de
,
, é sempre menor que zero (
), e a segunda derivada,
, é sempre maior que zero (
) para todo
. Nosso objetivo aqui é entender o que isso significa para a função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial relacionados a taxas de variação e concavidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a primeira derivada,
. Quando
, isso significa que a função está sempre decrescendo. Em outras palavras, conforme
aumenta,
diminui.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada,
. Quando
, isso indica que a função é côncava para cima. A concavidade para cima nos diz como a taxa de variação está se comportando. Especificamente, se a concavidade é para cima, a função está “se curvando” para cima, e a taxa de mudança da inclinação da função está aumentando.
Passo 4
Juntando essas informações, temos que
está sempre decrescendo e se tornando menos decrescente (porque a concavidade para cima significa que a inclinação está aumentando, mas ainda negativa). Isso pode parecer meio contraditório, mas na prática significa que a função está se aproximando de um certo comportamento assintótico.
Passo 5
Vamos ilustrar isso com um exemplo simples. Imagine a função
para
. Aqui, a primeira derivada é
(que é sempre negativa) e a segunda derivada é
(que é sempre positiva). Essa função está sempre diminuindo, mas a taxa de diminuição está diminuindo, pois a inclinação está se tornando menos negativa à medida que
aumenta.
Resposta
Então, concluindo, se
e
para todo
, a função
está sempre decrescendo e se tornando menos inclinada, ou seja, está diminuindo seu ritmo de queda e é côncava para cima.
Exercícios relacionados
Suponha que a derivada de uma função
seja dada por
Em que intervalo(s)
é crescente?