Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
no intervalo
. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar lembrar como funciona essa técnica para resolver a integral dessa função nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos resolver:
Aqui, queremos encontrar o valor dessa integral definida.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Precisamos escolher as partes
e
da nossa função de forma estratégica.
Passo 4
Vamos escolher:
Essa escolha facilita os cálculos porque a derivada de
é simples e a integral de
é direta.
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos a segunda integral:
Então, substituindo de volta:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do
. Agora, avaliamos de
a
:
Simplificando:
Lembrando que
:
Além disso,
, então:
Resposta
O valor da integral definida é
.
Exercícios relacionados
(b)
e
para todo
Mostre que a equação tem exatamente uma solução real.