Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Vamos precisar lembrar como funciona essa técnica para resolver a integral dessa função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que precisamos resolver:
Aqui, queremos encontrar o valor dessa integral definida.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Precisamos escolher as partes e da nossa função de forma estratégica.

Passo 4

Vamos escolher:
Essa escolha facilita os cálculos porque a derivada de é simples e a integral de é direta.

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :
Simplificando:

Passo 6

Agora, calculamos a segunda integral:
Então, substituindo de volta:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do . Agora, avaliamos de a :
Simplificando:
Lembrando que :
Além disso, , então:

Resposta

O valor da integral definida é .

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(b) e para todo
Mostre que a equação tem exatamente uma solução real.