Suponha que a derivada de uma função
seja dada por
Em que intervalo(s)
é crescente?
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos dá a derivada de uma função
e pede para descobrir em quais intervalos
está crescendo. Isso envolve entender sobre derivadas e o comportamento das funções com base nelas. Para resolver, precisamos analisar onde a derivada
é positiva, pois isso indica que a função está aumentando.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da derivada
. Esses pontos são onde
, ou seja, onde cada fator se anula:
-
→ -
→ -
→
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal de
em cada intervalo determinado por esses pontos críticos. Os intervalos são:
Precisamos verificar se
é positivo ou negativo em cada um desses intervalos.
Passo 4
Vamos considerar o sinal de cada fator em cada intervalo:
-
Para
: -
é negativo -
é negativo -
é negativo
Potências:-
é positivo (qualquer número ao quadrado é positivo) -
é negativo (potência ímpar preserva o sinal) -
é positivo
Multiplicando: positivo × negativo × positivo = negativo -
-
Para
: -
é negativo -
é positivo -
é negativo
Potências:-
é positivo -
é positivo -
é positivo
Multiplicando: positivo × positivo × positivo = positivo -
-
Para
: -
é positivo -
é positivo -
é negativo
Potências:-
é positivo -
é positivo -
é positivo
Multiplicando: positivo × positivo × positivo = positivo -
-
Para
: -
é positivo -
é positivo -
é positivo
Potências:-
é positivo -
é positivo -
é positivo
Multiplicando: positivo × positivo × positivo = positivo -
Passo 5
Agora, resumindo os sinais de
:
-
: → está decrescendo -
: → está crescendo -
: → está crescendo -
: → está crescendo
Observe que, mesmo nos pontos
e
, devido às potências pares dos fatores correspondentes, o sinal não muda.
Resposta
A função
está crescente nos intervalos
,
e
.
Exercícios relacionados
(b)
e
para todo