Suponha que a derivada de uma função seja dada por Em que intervalo(s) é crescente?

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos dá a derivada de uma função e pede para descobrir em quais intervalos está crescendo. Isso envolve entender sobre derivadas e o comportamento das funções com base nelas. Para resolver, precisamos analisar onde a derivada é positiva, pois isso indica que a função está aumentando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da derivada . Esses pontos são onde , ou seja, onde cada fator se anula:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal de em cada intervalo determinado por esses pontos críticos. Os intervalos são:
Precisamos verificar se é positivo ou negativo em cada um desses intervalos.

Passo 4

Vamos considerar o sinal de cada fator em cada intervalo:
  1. Para :
    • é negativo
    • é negativo
    • é negativo
    Potências:
    • é positivo (qualquer número ao quadrado é positivo)
    • é negativo (potência ímpar preserva o sinal)
    • é positivo
    Multiplicando: positivo × negativo × positivo = negativo
  2. Para :
    • é negativo
    • é positivo
    • é negativo
    Potências:
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    Multiplicando: positivo × positivo × positivo = positivo
  3. Para :
    • é positivo
    • é positivo
    • é negativo
    Potências:
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    Multiplicando: positivo × positivo × positivo = positivo
  4. Para :
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    Potências:
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    Multiplicando: positivo × positivo × positivo = positivo

Passo 5

Agora, resumindo os sinais de :
  • : está decrescendo
  • : está crescendo
  • : está crescendo
  • : está crescendo
Observe que, mesmo nos pontos e , devido às potências pares dos fatores correspondentes, o sinal não muda.

Resposta

A função está crescente nos intervalos , e .

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