Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você me enviou. Temos a função . Nosso objetivo aqui é entender melhor essa função, talvez encontrar onde ela atinge seu valor máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. Como temos raízes cúbicas, sabemos que elas estão definidas para todos os números reais. Porém, precisamos garantir que o termo dentro da raiz não cause problemas.
Então, pode ser qualquer número real, já que a raiz cúbica está definida para todos. Portanto, o domínio de é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo, e onde ela pode ter pontos de máximo ou mínimo.
A função é um produto de duas funções: e . Para derivar esse produto, vamos usar a regra do produto, que diz:
Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
Aplicamos a regra da cadeia:
Agora, substituímos na fórmula da regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos resolver . Ou seja:
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando as potências:

Passo 5

Agora, vamos verificar se é realmente um ponto de máximo. Para isso, podemos analisar o sinal da derivada antes e depois desse ponto ou usar o teste da segunda derivada.
Vamos optar pelo teste da segunda derivada para confirmar.
Primeiro, calculamos a segunda derivada . Entretanto, isso pode ser complicado devido à complexidade da primeira derivada. Portanto, podemos simplificar analisando o comportamento da derivada primeira:
  • Para , escolhendo um valor, por exemplo :
    • , indicando que a função está crescendo.
  • Para , escolhendo :
    • , indicando que a função está diminuindo.
Como a função passa de crescente para decrescente em , isso confirma que é um ponto de máximo.

Resposta

A função atinge seu valor máximo em .

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(b) e para todo
Suponha que a derivada de uma função seja dada por Em que intervalo(s) é crescente?