Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você me enviou. Temos a função
. Nosso objetivo aqui é entender melhor essa função, talvez encontrar onde ela atinge seu valor máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida. Como temos raízes cúbicas, sabemos que elas estão definidas para todos os números reais. Porém, precisamos garantir que o termo dentro da raiz não cause problemas.
Então,
pode ser qualquer número real, já que a raiz cúbica está definida para todos. Portanto, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo, e onde ela pode ter pontos de máximo ou mínimo.
A função é um produto de duas funções:
e
. Para derivar esse produto, vamos usar a regra do produto, que diz:
Vamos calcular cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Aplicamos a regra da cadeia:
Agora, substituímos na fórmula da regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos resolver
. Ou seja:
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando as potências:
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é realmente um ponto de máximo. Para isso, podemos analisar o sinal da derivada antes e depois desse ponto ou usar o teste da segunda derivada.
Vamos optar pelo teste da segunda derivada para confirmar.
Primeiro, calculamos a segunda derivada
. Entretanto, isso pode ser complicado devido à complexidade da primeira derivada. Portanto, podemos simplificar analisando o comportamento da derivada primeira:
-
Para
, escolhendo um valor, por exemplo : -
, indicando que a função está crescendo.
-
-
Para
, escolhendo : -
, indicando que a função está diminuindo.
-
Como a função passa de crescente para decrescente em
, isso confirma que
é um ponto de máximo.
Resposta
A função
atinge seu valor máximo em
.
Exercícios relacionados
(b)
e
para todo
Suponha que a derivada de uma função
seja dada por
Em que intervalo(s)
é crescente?