(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que precisamos fazer aqui é encontrar os raízes dessa função, ou seja, os valores de que fazem . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e fatoração de polinômios. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a função para facilitar a resolução. Observando , vamos tentar encontrar um fator comum ou aplicarmos o teorema do fator.
Vamos testar alguns valores para que possam tornar a função igual a zero. Por exemplo, vamos tentar :
Como , não é uma raiz. Vamos tentar :
Ainda não chegamos a zero. Agora, vamos tentar :
Também não deu. Parece que não encontramos uma raiz fácil. Então, vamos usar a divisão sintética ou procurar uma forma de fatorar o polinômio.

Passo 3

Vamos reescrever a função:
Podemos tentar agrupar os termos:
Não é muito útil para fatorar diretamente, então vamos tentar outra abordagem. Vamos usar a fórmula de Cardano para resolver polinômios de terceiro grau, mas isso pode ser complicado. Em vez disso, podemos tentar encontrar pelo menos uma raiz real usando métodos numéricos ou gráficos.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de para encontrar pontos críticos que nos ajudam a entender o comportamento da função:
Agora, vamos encontrar onde :
Então, e são pontos críticos. Isso nos ajuda a traçar o gráfico e estimar onde as raízes podem estar.

Passo 5

Agora, vamos avaliar nos pontos críticos e em intervalos para entender onde a função cruza o eixo :
  • Para , digamos :
  • Entre e , digamos :
  • Para , digamos :
Observamos que a função muda de negativa para positiva passando por , sugerindo que há uma raiz entre e .

Passo 6

Com essa informação, podemos usar métodos numéricos como o Método da Bisseção ou Newton-Raphson para aproximar a raiz. Vamos usar a Bisseção para simplificar:
Sabemos que e .
Vamos calcular :
Como , a raiz está entre e .
Vamos calcular :
Ainda negativo. Continuamos até aproximar mais:
Calculando :
Agora, , então a raiz está entre e . Repetindo esse processo, podemos aproximar a raiz com a precisão desejada.

Resposta

A raiz da função está aproximadamente entre e .

Exercícios relacionados

Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
(a) .
(b) .
Seja L o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados medem e , e supunha que e variam com o tempo. Se aumenta a uma taxa constante de e está decrescendo a uma taxa de , com que rapidez a diagonal está variando quando e ?
(a) Crescendo a uma taxa de .
(b) Decrescendo a uma taxa de .
© Crescendo a uma taxa de .
(d) Decrescendo a uma taxa de .
(e) Crescendo a uma taxa de .
Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada.
(a) .