Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada.
(a) .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos locais da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente buscando máximos e mínimos locais da função. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar seus pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Vamos resolver :
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, é nosso ponto crítico.

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada ao redor de .
Calculando a segunda derivada:
Em :
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função tem um mínimo local em .

Resposta

A função possui um extremo local mínimo no ponto , onde .

Exercícios relacionados

Seja L o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados medem e , e supunha que e variam com o tempo. Se aumenta a uma taxa constante de e está decrescendo a uma taxa de , com que rapidez a diagonal está variando quando e ?
(a) Crescendo a uma taxa de .
(b) Decrescendo a uma taxa de .
© Crescendo a uma taxa de .
(d) Decrescendo a uma taxa de .
(e) Crescendo a uma taxa de .
(b)
Encontre, caso existam, os extremos absolutos nos seguintes intervalos:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
para cada uma das funções dadas abaixo.
(a)
j)