Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada.
(a)
.
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos locais da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente buscando máximos e mínimos locais da função. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar seus pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Vamos resolver
:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então,
é nosso ponto crítico.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada ao redor de
.
Calculando a segunda derivada:
Em
:
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função tem um mínimo local em
.
Resposta
A função
possui um extremo local mínimo no ponto
, onde
.