Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada.
(a)
.
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos locais da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente buscando máximos e mínimos locais da função. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar seus pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou não existe. Vamos resolver
:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então,
é nosso ponto crítico.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada ao redor de
.
Calculando a segunda derivada:
Em
:
Como a segunda derivada é positiva, isso indica que a função tem um mínimo local em
.
Resposta
A função
possui um extremo local mínimo no ponto
, onde
.
Exercícios relacionados
Seja L o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados medem
e
, e supunha que
e
variam com o tempo. Se
aumenta a uma taxa constante de
e
está decrescendo a uma taxa de
, com que rapidez a diagonal está variando quando
e
?
(a) Crescendo a uma taxa de .
(b) Decrescendo a uma taxa de .
© Crescendo a uma taxa de .
(d) Decrescendo a uma taxa de .
(e) Crescendo a uma taxa de .
(a) Crescendo a uma taxa de
(b) Decrescendo a uma taxa de
© Crescendo a uma taxa de
(d) Decrescendo a uma taxa de
(e) Crescendo a uma taxa de
(b)
Encontre, caso existam, os extremos absolutos nos seguintes intervalos:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
para cada uma das funções dadas abaixo.
(a)
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
para cada uma das funções dadas abaixo.
(a)
j)