Seja L o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados medem
e
, e supunha que
e
variam com o tempo. Se
aumenta a uma taxa constante de
e
está decrescendo a uma taxa de
, com que rapidez a diagonal está variando quando
e
?
(a) Crescendo a uma taxa de
.
(b) Decrescendo a uma taxa de
.
© Crescendo a uma taxa de
.
(d) Decrescendo a uma taxa de
.
(e) Crescendo a uma taxa de
.
(a) Crescendo a uma taxa de
(b) Decrescendo a uma taxa de
© Crescendo a uma taxa de
(d) Decrescendo a uma taxa de
(e) Crescendo a uma taxa de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um retângulo com lados que estão mudando de tamanho com o tempo. O lado
está aumentando a
e o lado
está diminuindo a
. Queremos descobrir quão rápido a diagonal
desse retângulo está mudando quando
e
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar os lados do retângulo com a diagonal. Sabemos, pela teoria de Pitágoras, que em um retângulo:
Essa é a fórmula que nos dá o comprimento da diagonal
em função dos lados
e
.
Passo 3
Agora, queremos saber como
está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Simplificando isso:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que a gente tem:
-
-
-
-
(o sinal negativo indica que está diminuindo) - Primeiro, vamos calcular
quando e :
Passo 5
Agora, substituímos tudo na fórmula da derivada:
Resposta
Crescendo a uma taxa de
.
Exercícios relacionados
(b)
Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
(a) .
(a)
Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada.
(a) .
(a)
Encontre, caso existam, os extremos absolutos nos seguintes intervalos:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
para cada uma das funções dadas abaixo.
(a)
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
para cada uma das funções dadas abaixo.
(a)