Seja L o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados medem x e y, e supunha que x e y variam com o tempo. Se x aumenta a uma taxa constante de 0,5 cm/s e y está decrescendo a uma taxa de 0,25 cm/s, com que rapidez a diagonal está variando quando x = 3 cm e y = 4 cm ?
(a) Crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s.
(b) Decrescendo a uma taxa de 0,5 cm/s.
© Crescendo a uma taxa de 0,1 cm/s.
(d) Decrescendo a uma taxa de 0,1 cm/s.
(e) Crescendo a uma taxa de 0,25 cm/s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um retângulo com lados que estão mudando de tamanho com o tempo. O lado x está aumentando a e o lado y está diminuindo a . Queremos descobrir quão rápido a diagonal L desse retângulo está mudando quando e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar os lados do retângulo com a diagonal. Sabemos, pela teoria de Pitágoras, que em um retângulo:
Essa é a fórmula que nos dá o comprimento da diagonal L em função dos lados x e y.

Passo 3

Agora, queremos saber como L está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo t:
Simplificando isso:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que a gente tem:
  • (o sinal negativo indica que y está diminuindo)
  • Primeiro, vamos calcular L quando e :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da derivada:

Resposta

Crescendo a uma taxa de 0,1 cm/s.

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