Seja L o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados medem e , e supunha que e variam com o tempo. Se aumenta a uma taxa constante de e está decrescendo a uma taxa de , com que rapidez a diagonal está variando quando e ?
(a) Crescendo a uma taxa de .
(b) Decrescendo a uma taxa de .
© Crescendo a uma taxa de .
(d) Decrescendo a uma taxa de .
(e) Crescendo a uma taxa de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um retângulo com lados que estão mudando de tamanho com o tempo. O lado está aumentando a e o lado está diminuindo a . Queremos descobrir quão rápido a diagonal desse retângulo está mudando quando e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar os lados do retângulo com a diagonal. Sabemos, pela teoria de Pitágoras, que em um retângulo:
Essa é a fórmula que nos dá o comprimento da diagonal em função dos lados e .

Passo 3

Agora, queremos saber como está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo :
Simplificando isso:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que a gente tem:
  • (o sinal negativo indica que está diminuindo)
  • Primeiro, vamos calcular quando e :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da derivada:

Resposta

Crescendo a uma taxa de .

Exercícios relacionados

(b)
Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
(a) .
Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada.
(a) .
Encontre, caso existam, os extremos absolutos nos seguintes intervalos:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
para cada uma das funções dadas abaixo.
(a)