Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
definida para todos os números reais. O objetivo aqui é estudar se essa função possui máximos e mínimos globais. Ou seja, queremos saber se existe algum ponto onde a função atinge o maior ou menor valor possível em todo o seu domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar máximos e mínimos de uma função, a gente precisa encontrar os pontos críticos. Esses pontos são onde a derivada da função iguala a zero ou não está definida. Como nossa função é polinomial, derivada sempre existe, então vamos focar em onde a derivada é igual a zero.
Passo 3
Vamos derivar a função
. A regra de derivação para potências é multiplicar o expoente pelo coeficiente e diminuir o expoente em 1. Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
onde
:
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas soluções:
-
⇒ -
⇒ ou
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos em
,
e
, vamos analisar o comportamento da função nesses pontos para determinar se são máximos ou mínimos locais.
Podemos usar o teste da segunda derivada ou observar o sinal da primeira derivada ao redor desses pontos. Mas, para simplificar, vamos analisar o comportamento geral da função.
Passo 6
Observando a função
, sabemos que para
muito positivo,
domina e a função tende a
. Para
muito negativo,
também domina, mas como o expoente é ímpar, a função tende a
.
Isso significa que a função não está limitada por cima nem por baixo globalmente.
Passo 7
Apesar de termos pontos críticos que podem indicar máximos ou mínimos locais, a função não possui um máximo ou mínimo global porque, para
indo para
ou
, os valores de
continuam aumentando ou diminuindo sem limites.
Resposta
A função
não possui máximos nem mínimos globais.