Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função definida para todos os números reais. O objetivo aqui é estudar se essa função possui máximos e mínimos globais. Ou seja, queremos saber se existe algum ponto onde a função atinge o maior ou menor valor possível em todo o seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar máximos e mínimos de uma função, a gente precisa encontrar os pontos críticos. Esses pontos são onde a derivada da função iguala a zero ou não está definida. Como nossa função é polinomial, derivada sempre existe, então vamos focar em onde a derivada é igual a zero.

Passo 3

Vamos derivar a função . A regra de derivação para potências é multiplicar o expoente pelo coeficiente e diminuir o expoente em 1. Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de onde :
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas soluções:
  1. ou

Passo 5

Agora que temos os pontos críticos em , e , vamos analisar o comportamento da função nesses pontos para determinar se são máximos ou mínimos locais.
Podemos usar o teste da segunda derivada ou observar o sinal da primeira derivada ao redor desses pontos. Mas, para simplificar, vamos analisar o comportamento geral da função.

Passo 6

Observando a função , sabemos que para muito positivo, domina e a função tende a . Para muito negativo, também domina, mas como o expoente é ímpar, a função tende a .
Isso significa que a função não está limitada por cima nem por baixo globalmente.

Passo 7

Apesar de termos pontos críticos que podem indicar máximos ou mínimos locais, a função não possui um máximo ou mínimo global porque, para indo para ou , os valores de continuam aumentando ou diminuindo sem limites.

Resposta

A função não possui máximos nem mínimos globais.

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(b) .
Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja . O material da base vai custar R por e o material dos lados por . Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.
(b)
Seja L o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados medem e , e supunha que e variam com o tempo. Se aumenta a uma taxa constante de e está decrescendo a uma taxa de , com que rapidez a diagonal está variando quando e ?
(a) Crescendo a uma taxa de .
(b) Decrescendo a uma taxa de .
© Crescendo a uma taxa de .
(d) Decrescendo a uma taxa de .
(e) Crescendo a uma taxa de .