(b) f(x) = { x/(x-3) se x < 2; a*x + b se x ≥ 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou define uma função de forma por partes. Isso significa que a função se comporta de um jeito quando e de outro jeito quando . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre funções por partes e continuidade, e precisaríamos achar os valores de e para que a função seja contínua, ou seja, sem “saltos” no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas partes da função:
  1. Para :
  2. Para :
Queremos garantir que a função não tenha um salto em . Para isso, o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, ou seja, as duas expressões devem dar o mesmo valor em .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ):
Agora, o limite pela direita ( ):

Passo 4

Para a função ser contínua em , esses dois limites devem ser iguais:
Essa é a primeira equação que relaciona e .

Passo 5

Como temos apenas uma equação com duas incógnitas, precisamos de mais informações para encontrar valores específicos para e . Geralmente, isso envolve condições adicionais, como a derivada ser contínua (para suavidade) ou outros pontos de continuidade.
No entanto, como o enunciado completo do exercício não foi fornecido, vamos assumir que queremos apenas garantir a continuidade. Nesse caso, podemos expressar em termos de :

Resposta

Para que a função seja contínua em , os valores de e devem satisfazer a equação . Assim, .

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