Esboce, à mão, o gráfico da função
, prestando particular atenção em como o gráfico cruza o eixo
. Qual é a inclinação da reta tangente nesse ponto?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função
, prestando atenção em como ele cruza o eixo
. Além disso, vamos descobrir qual é a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função
. Essa é uma função exponencial onde a base é o número de Euler,
, que é aproximadamente 2,718. As funções exponenciais crescem rapidamente conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde o gráfico cruza o eixo
. Para isso, substituímos
na função:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico. Sabemos que para
negativo,
se aproxima de 0, mas nunca chega lá (assíntota horizontal). Para
positivo, o gráfico cresce rapidamente. Já temos o ponto
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Para isso, precisamos calcular a derivada da função
.
Passo 6
A derivada de
é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
é igual a
.
Passo 7
Vamos avaliar a derivada no ponto onde
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é 1.
Resposta
A inclinação da reta tangente no ponto onde o gráfico cruza o eixo
é 1.