Esboce, à mão, o gráfico da função , prestando particular atenção em como o gráfico cruza o eixo . Qual é a inclinação da reta tangente nesse ponto?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função , prestando atenção em como ele cruza o eixo . Além disso, vamos descobrir qual é a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função . Essa é uma função exponencial onde a base é o número de Euler, , que é aproximadamente 2,718. As funções exponenciais crescem rapidamente conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde o gráfico cruza o eixo . Para isso, substituímos na função:
Então, o ponto de interseção com o eixo é .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico. Sabemos que para negativo, se aproxima de 0, mas nunca chega lá (assíntota horizontal). Para positivo, o gráfico cresce rapidamente. Já temos o ponto .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, precisamos calcular a derivada da função .

Passo 6

A derivada de é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto é igual a .

Passo 7

Vamos avaliar a derivada no ponto onde :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 1.

Resposta

A inclinação da reta tangente no ponto onde o gráfico cruza o eixo é 1.

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