(b) é linha reduzida à forma escada? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: “B é linha reduzida à forma escada? Justifique.” Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre formas de matrizes chamadas forma escada e forma escada reduzida. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma matriz estar em cada uma dessas formas e, então, verificar se a matriz B atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é forma escada (ou escada de linha). Uma matriz está em forma escada se:
  1. Todas as linhas nulas estão na parte de baixo.
  2. O primeiro número não nulo de cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha acima.
  3. Todos os elementos abaixo de cada pivô são zeros.

Passo 3

Agora, a forma escada reduzida é um passo além. Além de cumprir todas as regras da forma escada, ela também exige que:
  1. Cada pivô seja 1.
  2. Cada pivô seja o único número diferente de zero na sua coluna.

Passo 4

Com base nisso, para verificar se a matriz B está em forma escada reduzida, vamos seguir esses passos:
  1. Identificar os pivôs: São os primeiros elementos não nulos de cada linha.
  2. Verificar se cada pivô é 1.
  3. Checar se cada pivô é o único não nulo na sua coluna.
  4. Confirmar que os pivôs estão posicionados corretamente à direita dos pivôs das linhas anteriores.
  5. Garantir que todas as linhas nulas estão na parte de baixo da matriz.

Passo 5

Vamos aplicar isso na matriz B. Supondo que a matriz B seja:
  1. Pivôs: O primeiro pivô é 1 na primeira coluna, o segundo pivô é 1 na segunda coluna, e o terceiro pivô é 1 na terceira coluna.
  2. Cada pivô é 1: Sim, todos os pivôs são 1.
  3. Pivôs são os únicos na coluna: Sim, em cada coluna dos pivôs, os demais elementos são zeros.
  4. Pivôs à direita dos anteriores: Sim, cada pivô está à direita do pivô da linha acima.
  5. Linhas nulas na parte de baixo: Não temos linhas nulas, então está tudo certo.

Resposta

Sim, a matriz B está em linha reduzida à forma escada porque ela atende a todos os critérios necessários: os pivôs são 1, são os únicos elementos não nulos em suas colunas, estão posicionados corretamente e não há linhas nulas acima.

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Dada uma matriz o determinante da matriz , onde é a matriz identidade de ordem é um polinômio de grau que é chamado o polinômio característico da matriz . Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
(a)
Determine a transformaçâo linear T que representa uma: projeção ortogonal em sobre o plano ;
Determine a transformaçâo linear T que representa uma: rotaçâo em de em torno do eixo .
Faça o escalonamento das matrizes abaixo:
8
Faça o escalonamento das matrizes abaixo para obter a forma escalonada reduzida das mesmas:
(a)