Dada uma matriz o determinante da matriz , onde é a matriz identidade de ordem é um polinômio de grau que é chamado o polinômio característico da matriz . Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio característico da matriz e depois calcular as raízes desse polinômio, que são os autovalores da matriz. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é dado pelo determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é uma variável. Ou seja, precisamos calcular .

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz identidade de ordem 2 é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 2x2 , o determinante é . Aplicando isso:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão:
Subtraindo :

Passo 6

Esse é o polinômio característico: . Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, que são os valores de que satisfazem .

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 8

Calculando o discriminante ( ):
Como , que é um quadrado perfeito, teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 9

Agora, aplicando a fórmula:
Então:

Resposta

O polinômio característico da matriz é e seus autovalores são e .

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