Dada uma matriz o determinante da matriz , onde é a matriz identidade de ordem é um polinômio de grau que é chamado o polinômio característico da matriz . Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio característico da matriz e depois calcular as raízes desse polinômio, que são os autovalores da matriz. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é dado pelo determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é uma variável. Ou seja, precisamos calcular .
Passo 3
Vamos montar a matriz . A matriz identidade de ordem 2 é . Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 2x2 , o determinante é . Aplicando isso:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a expressão:
Subtraindo :
Passo 6
Esse é o polinômio característico: . Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, que são os valores de que satisfazem .
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .
Passo 8
Calculando o discriminante ():
Como , que é um quadrado perfeito, teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 9
Agora, aplicando a fórmula:
Então:
Resposta
O polinômio característico da matriz é e seus autovalores são e .