Dada uma matriz A in Mn(R) o determinante da matriz A-t In, onde In é a matriz identidade de ordem n é um polinômio de grau n que é chamado o polinômio característico da matriz A. Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz A.
(a) A=(ll1 & 6 5 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio característico da matriz 1 & 6 5 & 2 e depois calcular as raízes desse polinômio, que são os autovalores da matriz. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é dado pelo determinante da matriz , onde é a matriz identidade e é uma variável. Ou seja, precisamos calcular .

Passo 3

Vamos montar a matriz 1 & 0 0 & 1. A matriz identidade A - tI = 1 - t & 6 5 & 2 - t de ordem 2 é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 2x2 a & b c & d, o determinante é det(A - tI) = (1 - t)(2 - t) - (6 cdot 5) . Aplicando isso:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão:
(1 - t)(2 - t) = 1 cdot 2 - 1 cdot t - t cdot 2 + t cdot t = 2 - t - 2t + t^2 = t^2 - 3t + 2
Subtraindo det(A - tI) = t^2 - 3t + 2 - 30 = t^2 - 3t - 28 :

Passo 6

Esse é o polinômio característico: . Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, que são os valores de que satisfazem .

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática t = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 8

Calculando o discriminante ( De):
Como , que é um quadrado perfeito, teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 9

Agora, aplicando a fórmula:
t = 3 pm raiz1212 = 3 pm 112
Então:
t1 = 3 + 112 = 7 t2 = 3 - 112 = -4

Resposta

O polinômio característico da matriz é e seus autovalores são e .

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