Dada uma matriz
o determinante da matriz
, onde
é a matriz identidade de ordem
é um polinômio de grau
que é chamado o polinômio característico da matriz
. Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio característico da matriz
e depois calcular as raízes desse polinômio, que são os autovalores da matriz. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é dado pelo determinante da matriz
, onde
é a matriz identidade e
é uma variável. Ou seja, precisamos calcular
.
Passo 3
Vamos montar a matriz
. A matriz identidade
de ordem 2 é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 2x2
, o determinante é
. Aplicando isso:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a expressão:
Subtraindo
:
Passo 6
Esse é o polinômio característico:
. Agora, vamos encontrar as raízes desse polinômio, que são os valores de
que satisfazem
.
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Passo 8
Calculando o discriminante (
):
Como
, que é um quadrado perfeito, teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 9
Agora, aplicando a fórmula:
Então:
Resposta
O polinômio característico da matriz
é
e seus autovalores são
e
.