Determine a transformaçâo linear T que representa uma: rotaçâo em de em torno do eixo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que determinar a transformação linear que representa uma rotação de no espaço tridimensional em torno do eixo . Isso significa que queremos encontrar uma matriz que, ao ser aplicada a qualquer vetor em , rotacione esse vetor ao redor do eixo .

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a matriz de rotação em torno do eixo . No espaço tridimensional, a matriz de rotação para um ângulo em torno do eixo é dada por:
Essa matriz deixa a componente do vetor inalterada e rotaciona as componentes e .

Passo 3

Como o ângulo de rotação é , vamos converter esse ângulo para radianos, já que as funções trigonométricas geralmente usam radianos:

Passo 4

Substituindo por na matriz de rotação , temos:
Sabemos que , então substituindo esses valores:

Resposta

A transformação linear que representa uma rotação de em torno do eixo em é dada pela matriz:

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(b) é linha reduzida à forma escada? Justifique.
Dada uma matriz o determinante da matriz , onde é a matriz identidade de ordem é um polinômio de grau que é chamado o polinômio característico da matriz . Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
(a)
Faça o escalonamento das matrizes abaixo:
8
Faça o escalonamento das matrizes abaixo para obter a forma escalonada reduzida das mesmas:
(a)
Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(b)