Determine a transformaçâo linear T que representa uma: rotaçâo em R^3 de 45^circ em torno do eixo z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que determinar a transformação linear que representa uma rotação de no espaço tridimensional em torno do eixo . Isso significa que queremos encontrar uma matriz que, ao ser aplicada a qualquer vetor em , rotacione esse vetor ao redor do eixo .

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a matriz de rotação em torno do eixo Rz(theta) = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1 . No espaço tridimensional, a matriz de rotação para um ângulo em torno do eixo é dada por:
Essa matriz deixa a componente do vetor inalterada e rotaciona as componentes e .

Passo 3

Como o ângulo de rotação é 45^circ = pi4 radianos , vamos converter esse ângulo para radianos, já que as funções trigonométricas geralmente usam radianos:

Passo 4

Substituindo Rz(pi4) = cos(pi4) & -sin(pi4) & 0 sin(pi4) & cos(pi4) & 0 0 & 0 & 1 por Rz(pi4) = raiz22 & -raiz22 & 0 raiz22 & raiz22 & 0 0 & 0 & 1 na matriz de rotação , temos:
Sabemos que , então substituindo esses valores:

Resposta

A transformação linear T = raiz22 & -raiz22 & 0 raiz22 & raiz22 & 0 0 & 0 & 1 que representa uma rotação de em torno do eixo em é dada pela matriz:

Exercícios relacionados