Determine a transformaçâo linear T que representa uma: rotaçâo em de em torno do eixo .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que determinar a transformação linear que representa uma rotação de no espaço tridimensional em torno do eixo . Isso significa que queremos encontrar uma matriz que, ao ser aplicada a qualquer vetor em , rotacione esse vetor ao redor do eixo .
Passo 2
Para resolver isso, vamos usar a matriz de rotação em torno do eixo . No espaço tridimensional, a matriz de rotação para um ângulo em torno do eixo é dada por:
Essa matriz deixa a componente do vetor inalterada e rotaciona as componentes e .
Passo 3
Como o ângulo de rotação é , vamos converter esse ângulo para radianos, já que as funções trigonométricas geralmente usam radianos:
Passo 4
Substituindo por na matriz de rotação , temos:
Sabemos que , então substituindo esses valores:
Resposta
A transformação linear que representa uma rotação de em torno do eixo em é dada pela matriz: