(b) Qual é a matriz de F em relação à base ordenada
?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a questão: “Qual é a matriz de
em relação à base ordenada
?”.
Aqui, estamos lidando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformação
atua nos vetores da base
e então expressar esses resultados na própria base
.
Passo 2
Primeiro, precisamos aplicar a transformação
a cada vetor da base
. Vamos chamar nossos vetores de base de
e
. Então, calculamos:
Nota: Aqui,
representa a imagem de
pela transformação
.
Passo 3
Depois de calcular
e
, o próximo passo é expressar esses vetores resultantes em termos da base
. Ou seja, precisamos encontrar coeficientes
e
tais que:
Isso significa resolver sistemas de equações para encontrar
.
Passo 4
Uma vez que tenhamos os coeficientes, podemos montar a matriz de
na base
. A matriz será formada por esses coeficientes organizados nas colunas correspondentes:
Passo 5
Exemplo Prático:
Vamos supor que a transformação
seja definida por:
Agora, vamos aplicar
aos vetores da base
:
Passo 6
Agora, expressamos
e
em termos da base
:
Para
, precisamos resolver:
Resolvendo esse sistema:
Somando as duas equações:
Então,
.
Fazendo o mesmo para
:
Resolvendo:
Somando as equações:
Então,
.
Passo 7
Agora, montamos a matriz de
na base
usando os coeficientes encontrados:
Resposta
A matriz de
em relação à base ordenada
é:
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Determine a matriz
das transformações lineares dadas, em relação às bases correspondentes:
(f) Qual é a diferença entre Transformação Linear e Operador Linear?
Determine a matriz
das transformações lineares dadas, em relação às bases correspondentes:
,
(i) Sejam U e V espaços vetoriais sobre
. Sejam B e
bases de
e V respectivamente. Se
é um isomorfismo, então
é invertível? Existe
? Justifique.