(b) Qual é a matriz de F em relação à base ordenada B=(1,2),(1,-1) ?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a questão: “Qual é a matriz de em relação à base ordenada ?”.
Aqui, estamos lidando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformação atua nos vetores da base e então expressar esses resultados na própria base .

Passo 2

Primeiro, precisamos aplicar a transformação F(v1) = F(1,2) a cada vetor da base F(v2) = F(1,-1) . Vamos chamar nossos vetores de base de e . Então, calculamos:
Nota: Aqui, representa a imagem de pela transformação .

Passo 3

Depois de calcular F(v1) = a cdot v1 + b cdot v2 e F(v2) = c cdot v1 + d cdot v2 , o próximo passo é expressar esses vetores resultantes em termos da base . Ou seja, precisamos encontrar coeficientes e tais que:
Isso significa resolver sistemas de equações para encontrar .

Passo 4

Uma vez que tenhamos os coeficientes, podemos montar a matriz de [F]B = a & c b & d na base . A matriz será formada por esses coeficientes organizados nas colunas correspondentes:

Passo 5

Exemplo Prático:
Vamos supor que a transformação F(x, y) = (2x + y, x - y) seja definida por:
F(v1) = F(1,2) = (2 cdot 1 + 2, 1 - 2) = (4, -1)
Agora, vamos aplicar F(v2) = F(1,-1) = (2 cdot 1 + (-1), 1 - (-1)) = (1, 2) aos vetores da base :

Passo 6

Agora, expressamos (4, -1) = a(1,2) + b(1,-1) e Rightarrow 4 = a + b em termos da base -1 = 2a - b :
Para 4 + (-1) = a + b + 2a - b Rightarrow 3 = 3a Rightarrow a = 1 , precisamos resolver:
Substituindo a = 1 na primeira equação: 4 = 1 + b Rightarrow b = 3
(1,2) = c(1,2) + d(1,-1)
Rightarrow 1 = c + d
Resolvendo esse sistema:
Somando as duas equações:
2 = 2c - d
1 + 2 = c + d + 2c - d Rightarrow 3 = 3c Rightarrow c = 1 çã
Então, Substituindo c = 1 na primeira equação: 1 = 1 + d Rightarrow d = 0 .
Fazendo o mesmo para :
Resolvendo:
Somando as equações:
çã
Então, .

Passo 7

Agora, montamos a matriz de [F]B = 1 & 1 3 & 0 na base usando os coeficientes encontrados:

Resposta

A matriz de [F]B = 1 & 1 3 & 0 em relação à base ordenada é:

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