(b) Qual é a matriz de F em relação à base ordenada ?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a questão: “Qual é a matriz de em relação à base ordenada ?”.
Aqui, estamos lidando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como a transformação atua nos vetores da base e então expressar esses resultados na própria base .

Passo 2

Primeiro, precisamos aplicar a transformação a cada vetor da base . Vamos chamar nossos vetores de base de e . Então, calculamos:
Nota: Aqui, representa a imagem de pela transformação .

Passo 3

Depois de calcular e , o próximo passo é expressar esses vetores resultantes em termos da base . Ou seja, precisamos encontrar coeficientes e tais que:
Isso significa resolver sistemas de equações para encontrar .

Passo 4

Uma vez que tenhamos os coeficientes, podemos montar a matriz de na base . A matriz será formada por esses coeficientes organizados nas colunas correspondentes:

Passo 5

Exemplo Prático:
Vamos supor que a transformação seja definida por:
Agora, vamos aplicar aos vetores da base :

Passo 6

Agora, expressamos e em termos da base :
Para , precisamos resolver:
Resolvendo esse sistema:
Somando as duas equações:
çã
Então, .
Fazendo o mesmo para :
Resolvendo:
Somando as equações:
çã
Então, .

Passo 7

Agora, montamos a matriz de na base usando os coeficientes encontrados:

Resposta

A matriz de em relação à base ordenada é:

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(i) Sejam U e V espaços vetoriais sobre . Sejam B e bases de e V respectivamente. Se é um isomorfismo, então é invertível? Existe ? Justifique.