(i) Sejam U e V espaços vetoriais sobre
. Sejam B e
bases de
e V respectivamente. Se
é um isomorfismo, então
é invertível? Existe
? Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois espaços vetoriais
e
sobre
, e bases
e
para cada um desses espaços, respectivamente. A função
é um isomorfismo, ou seja, uma transformação linear que é bijetora (tem inversa). Queremos saber se a matriz de
na base
e
, denotada por
, é invertível e se existe a matriz da inversa de
,
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre isomorfismos, matrizes de transformações lineares e invertibilidade de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um isomorfismo entre dois espaços vetoriais implica que as dimensões desses espaços são iguais e que a transformação é bijetora. Isso significa que existe uma transformação inversa
que desfaz a ação de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar as matrizes associadas a essas transformações. A matriz
representa a transformação
na base
de
e na base
de
. Como
é um isomorfismo, essa matriz deve ser quadrada, pois as dimensões de
e
são iguais.
Passo 4
Uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero, o que ocorre exatamente quando a transformação linear associada é bijetora, ou seja, um isomorfismo. Como sabemos que
é um isomorfismo, segue que
é invertível.
Passo 5
Além disso, como
tem uma inversa
, a matriz dessa inversa,
, também existe. Essa matriz é, na verdade, a inversa de
. Ou seja,
.
Resposta
Sim,
é invertível e existe
. Isso ocorre porque
é um isomorfismo, de modo que sua matriz associada é uma matriz quadrada invertível, e a matriz da inversa de
é a inversa de
.
Exercícios relacionados
Determine a matriz
das transformações lineares dadas, em relação às bases correspondentes:
,
(b) Qual é a matriz de F em relação à base ordenada
?
Sejam
e
bases de
e
, respectivamente,
e
. Mostre que
.
Se
, então
? E se
?