(i) Sejam U e V espaços vetoriais sobre . Sejam B e bases de e V respectivamente. Se é um isomorfismo, então é invertível? Existe ? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois espaços vetoriais e sobre , e bases e para cada um desses espaços, respectivamente. A função é um isomorfismo, ou seja, uma transformação linear que é bijetora (tem inversa). Queremos saber se a matriz de na base e , denotada por , é invertível e se existe a matriz da inversa de , . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre isomorfismos, matrizes de transformações lineares e invertibilidade de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um isomorfismo entre dois espaços vetoriais implica que as dimensões desses espaços são iguais e que a transformação é bijetora. Isso significa que existe uma transformação inversa que desfaz a ação de .

Passo 3

Agora, vamos considerar as matrizes associadas a essas transformações. A matriz representa a transformação na base de e na base de . Como é um isomorfismo, essa matriz deve ser quadrada, pois as dimensões de e são iguais.

Passo 4

Uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero, o que ocorre exatamente quando a transformação linear associada é bijetora, ou seja, um isomorfismo. Como sabemos que é um isomorfismo, segue que é invertível.

Passo 5

Além disso, como tem uma inversa , a matriz dessa inversa, , também existe. Essa matriz é, na verdade, a inversa de . Ou seja, .

Resposta

Sim, é invertível e existe . Isso ocorre porque é um isomorfismo, de modo que sua matriz associada é uma matriz quadrada invertível, e a matriz da inversa de é a inversa de .

Exercícios relacionados

Determine a matriz das transformações lineares dadas, em relação às bases correspondentes: ,
(b) Qual é a matriz de F em relação à base ordenada ?
Sejam e bases de e , respectivamente, e . Mostre que .
Se , então ? E se ?