Determine a matriz das transformações lineares dadas, em relação às bases correspondentes: ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases e . A transformação é definida por , onde é uma matriz dada por:
As bases e são bases padrão para matrizes e são dadas por:
Vamos precisar aplicar em cada um dos elementos da base e depois expressar o resultado em termos da base .

Passo 2

Primeiro, vamos nomear os elementos da base para facilitar:
onde
Vamos calcular para cada .

Passo 3

Vamos calcular :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,

Passo 4

Agora, vamos expressar em termos da base . Queremos encontrar os coeficientes tais que:
Sabemos que:
Comparando os elementos correspondentes:
Então,

Passo 5

Repetimos o mesmo processo para :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,

Passo 6

Expressando em termos da base :
Comparando os elementos:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,

Passo 8

Expressando em termos da base :
Comparando os elementos:
Então,

Passo 9

Finalmente, vamos calcular :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,

Passo 10

Expressando em termos da base :
Comparando os elementos:
Então,

Resposta

Então, a matriz da transformação linear em relação às bases e é:

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(b) Qual é a matriz de F em relação à base ordenada ?
Determine a matriz das transformações lineares dadas, em relação às bases correspondentes:
(i) Sejam U e V espaços vetoriais sobre . Sejam B e bases de e V respectivamente. Se é um isomorfismo, então é invertível? Existe ? Justifique.
Sejam e bases de e , respectivamente, e . Mostre que .