Determine a matriz das transformações lineares dadas, em relação às bases correspondentes: ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases e . A transformação é definida por , onde é uma matriz dada por:
As bases e são bases padrão para matrizes e são dadas por:
Vamos precisar aplicar em cada um dos elementos da base e depois expressar o resultado em termos da base .
Passo 2
Primeiro, vamos nomear os elementos da base para facilitar:
onde
Vamos calcular para cada .
Passo 3
Vamos calcular :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,
Passo 4
Agora, vamos expressar em termos da base . Queremos encontrar os coeficientes tais que:
Sabemos que:
Comparando os elementos correspondentes:
Então,
Passo 5
Repetimos o mesmo processo para :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,
Passo 6
Expressando em termos da base :
Comparando os elementos:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,
Passo 8
Expressando em termos da base :
Comparando os elementos:
Então,
Passo 9
Finalmente, vamos calcular :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,
Passo 10
Expressando em termos da base :
Comparando os elementos:
Então,
Resposta
Então, a matriz da transformação linear em relação às bases e é: