Determine a matriz das transformações lineares dadas, em relação às bases correspondentes: ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases e . A transformação é definida por , onde é uma matriz dada por:
As bases e são bases padrão para matrizes e são dadas por:
Vamos precisar aplicar em cada um dos elementos da base e depois expressar o resultado em termos da base .
Passo 2
Primeiro, vamos nomear os elementos da base para facilitar:
onde
Vamos calcular para cada .
Passo 3
Vamos calcular :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,
Passo 4
Agora, vamos expressar em termos da base . Queremos encontrar os coeficientes tais que:
Sabemos que:
Comparando os elementos correspondentes:
Então,
Passo 5
Repetimos o mesmo processo para T(E2) = A E2 - E2 A :
A E2 = a & b c & d 0 & 1 0 & 0 = a cdot 0 + b cdot 0 & a cdot 1 + b cdot 0 c cdot 0 + d cdot 0 & c cdot 1 + d cdot 0 = 0 & a 0 & c
Primeiro, calculamos E2 A = 0 & 1 0 & 0 a & b c & d = 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d = c & d 0 & 0 :
T(E2) = A E2 - E2 A = 0 & a 0 & c - c & d 0 & 0 = - c & a - d 0 & c
Agora, calculamos :
Então,
Passo 6
Expressando - c & a - d 0 & c = x1 E1 + x2 E2 + x3 E3 + x4 E4 em termos da base x1 = -c x2 = a - d x3 = 0 x4 = c :
T(E2) = -c E1 + (a - d) E2 + 0 E3 + c E4
Comparando os elementos:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular T(E3) = A E3 - E3 A :
A E3 = a & b c & d 0 & 0 1 & 0 = a cdot 0 + b cdot 1 & a cdot 0 + b cdot 0 c cdot 0 + d cdot 1 & c cdot 0 + d cdot 0 = b & 0 d & 0
Primeiro, calculamos E3 A = 0 & 0 1 & 0 a & b c & d = 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d = 0 & 0 a & b :
T(E3) = A E3 - E3 A = b & 0 d & 0 - 0 & 0 a & b = b & 0 d - a & -b
Agora, calculamos :
Então,
Passo 8
Expressando b & 0 d - a & -b = x1 E1 + x2 E2 + x3 E3 + x4 E4 em termos da base x1 = b x2 = 0 x3 = d - a x4 = -b :
T(E3) = b E1 + 0 E2 + (d - a) E3 - b E4
Comparando os elementos:
Então,
Passo 9
Finalmente, vamos calcular T(E4) = A E4 - E4 A :
A E4 = a & b c & d 0 & 0 0 & 1 = a cdot 0 + b cdot 0 & a cdot 0 + b cdot 1 c cdot 0 + d cdot 0 & c cdot 0 + d cdot 1 = 0 & b 0 & d
Primeiro, calculamos E4 A = 0 & 0 0 & 1 a & b c & d = 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d = 0 & 0 c & d :
T(E4) = A E4 - E4 A = 0 & b 0 & d - 0 & 0 c & d = 0 & b - c & 0
Agora, calculamos :
Então,
Passo 10
Expressando 0 & b - c & 0 = x1 E1 + x2 E2 + x3 E3 + x4 E4 em termos da base x1 = 0 x2 = b x3 = -c x4 = 0 :
T(E4) = 0 E1 + b E2 - c E3 + 0 E4
Comparando os elementos:
Então,
Resposta
Então, a matriz da transformação linear (T)B, C = 0 & -c & b & 0 -b & a - d & 0 & b c & 0 & d - a & -c 0 & c & -b & 0 em relação às bases e é: