Determine a matriz (T)B, C das transformações lineares dadas, em relação às bases correspondentes: T in L(M2(R)), A=(lla & b c & d), T(X)=A X-X A e,
B=C=(ll 1 & 0 0 & 0 ),(ll 0 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a matriz da transformação linear A = a & b c & d em relação às bases B = C = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 e . A transformação é definida por , onde é uma matriz dada por:
As bases e são bases padrão para matrizes e são dadas por:
Vamos precisar aplicar em cada um dos elementos da base e depois expressar o resultado em termos da base .

Passo 2

Primeiro, vamos nomear os elementos da base B = E1, E2, E3, E4 para facilitar:
E1 = 1 & 0 0 & 0 , E2 = 0 & 1 0 & 0 , E3 = 0 & 0 1 & 0 , E4 = 0 & 0 0 & 1
onde
Vamos calcular para cada .

Passo 3

Vamos calcular T(E1) = A E1 - E1 A :
A E1 = a & b c & d 1 & 0 0 & 0 = a cdot 1 + b cdot 0 & a cdot 0 + b cdot 0 c cdot 1 + d cdot 0 & c cdot 0 + d cdot 0 = a & 0 c & 0
Primeiro, calculamos E1 A = 1 & 0 0 & 0 a & b c & d = 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d = a & b 0 & 0 :
T(E1) = A E1 - E1 A = a & 0 c & 0 - a & b 0 & 0 = 0 & -b c & 0
Agora, calculamos :
Então,

Passo 4

Agora, vamos expressar T(E1) = x1 E1 + x2 E2 + x3 E3 + x4 E4 em termos da base 0 & -b c & 0 = x1 1 & 0 0 & 0 + x2 0 & 1 0 & 0 + x3 0 & 0 1 & 0 + x4 0 & 0 0 & 1 . Queremos encontrar os coeficientes x1 = 0 x2 = -b x3 = c x4 = 0 tais que:
T(E1) = 0 E1 - b E2 + c E3 + 0 E4
Sabemos que:
Comparando os elementos correspondentes:
Então,

Passo 5

Repetimos o mesmo processo para T(E2) = A E2 - E2 A :
A E2 = a & b c & d 0 & 1 0 & 0 = a cdot 0 + b cdot 0 & a cdot 1 + b cdot 0 c cdot 0 + d cdot 0 & c cdot 1 + d cdot 0 = 0 & a 0 & c
Primeiro, calculamos E2 A = 0 & 1 0 & 0 a & b c & d = 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d = c & d 0 & 0 :
T(E2) = A E2 - E2 A = 0 & a 0 & c - c & d 0 & 0 = - c & a - d 0 & c
Agora, calculamos :
Então,

Passo 6

Expressando - c & a - d 0 & c = x1 E1 + x2 E2 + x3 E3 + x4 E4 em termos da base x1 = -c x2 = a - d x3 = 0 x4 = c :
T(E2) = -c E1 + (a - d) E2 + 0 E3 + c E4
Comparando os elementos:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular T(E3) = A E3 - E3 A :
A E3 = a & b c & d 0 & 0 1 & 0 = a cdot 0 + b cdot 1 & a cdot 0 + b cdot 0 c cdot 0 + d cdot 1 & c cdot 0 + d cdot 0 = b & 0 d & 0
Primeiro, calculamos E3 A = 0 & 0 1 & 0 a & b c & d = 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d = 0 & 0 a & b :
T(E3) = A E3 - E3 A = b & 0 d & 0 - 0 & 0 a & b = b & 0 d - a & -b
Agora, calculamos :
Então,

Passo 8

Expressando b & 0 d - a & -b = x1 E1 + x2 E2 + x3 E3 + x4 E4 em termos da base x1 = b x2 = 0 x3 = d - a x4 = -b :
T(E3) = b E1 + 0 E2 + (d - a) E3 - b E4
Comparando os elementos:
Então,

Passo 9

Finalmente, vamos calcular T(E4) = A E4 - E4 A :
A E4 = a & b c & d 0 & 0 0 & 1 = a cdot 0 + b cdot 0 & a cdot 0 + b cdot 1 c cdot 0 + d cdot 0 & c cdot 0 + d cdot 1 = 0 & b 0 & d
Primeiro, calculamos E4 A = 0 & 0 0 & 1 a & b c & d = 0 cdot a + 0 cdot c & 0 cdot b + 0 cdot d 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d = 0 & 0 c & d :
T(E4) = A E4 - E4 A = 0 & b 0 & d - 0 & 0 c & d = 0 & b - c & 0
Agora, calculamos :
Então,

Passo 10

Expressando 0 & b - c & 0 = x1 E1 + x2 E2 + x3 E3 + x4 E4 em termos da base x1 = 0 x2 = b x3 = -c x4 = 0 :
T(E4) = 0 E1 + b E2 - c E3 + 0 E4
Comparando os elementos:
Então,

Resposta

Então, a matriz da transformação linear (T)B, C = 0 & -c & b & 0 -b & a - d & 0 & b c & 0 & d - a & -c 0 & c & -b & 0 em relação às bases e é:

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