Determine a matriz (T)B, C das transformações lineares dadas, em relação às bases correspondentes: T in L(P2(R)), T(g(t))=(1-t) g^prime(t), B=C=1, t /

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases e . Aqui, atua sobre polinômios de grau no máximo 2, e as bases e são ambas . Para resolver isso, vamos precisar saber como age nos elementos da base e depois expressar esses resultados na base .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação g(t) = 1 Rightarrow g'(t) = 0 no primeiro elemento da base T(1) = (1 - t) cdot 0 = 0 , que é o polinômio constante . A transformação é dada por , onde é a derivada de .
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos aplicar g(t) = t Rightarrow g'(t) = 1 no segundo elemento da base T(t) = (1 - t) cdot 1 = 1 - t , que é o polinômio .
Calculando:

Passo 4

Agora que temos 0 = 0 cdot 1 + 0 cdot t Rightarrow 0 0 e 1 - t = 1 cdot 1 + (-1) cdot t Rightarrow 1 -1 , vamos expressar esses resultados na base .
Para :
Para :

Resposta

Assim, a matriz (T)B, C = 0 & 1 0 & -1 é:

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