B=mu0 n I z para s
(fora do solenoide B=0 ).
A força sobre um segmento d s da haste é
d F=I^prime d l times B
onde I^prime é a corrente na haste; d l=d s s. Calcule o torque sobre a haste usando a equação
N=integral r times d F
onde r=s s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema que envolve força magnética e torque em um solenoide. A matéria principal aqui é o eletromagnetismo, especificamente o estudo das forças e torques em campos magnéticos. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam força magnética a correntes e campos magnéticos, além de calcular o torque através de integrais vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão para o campo magnético dentro do solenoide. Você já tem essa informação:
B = mu0 n I z para s < R
Isso significa que dentro do solenoide (quando a distância é menor que o raio ), o campo magnético é uniforme e na direção .

Passo 3

Fora do solenoide ( B = 0 ), o campo magnético é zero:
Isso simplifica nossa análise, pois só precisamos considerar o campo dentro do solenoide.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a força sobre um segmento infinitesimal dF = I^prime dl times B da haste:
Aqui, é a corrente na haste, e é o elemento de comprimento na direção radial .

Passo 5

Substituindo dF = I^prime (ds s) times (mu0 n I z) e na expressão da força:
Agora, vamos calcular o produto vetorial . No sistema de coordenadas cilíndricas, isso resulta em , a direção tangencial.

Passo 6

Portanto, a força fica:
dF = I^prime mu0 n I , ds , phi
Essa força está na direção tangencial, perpendicular ao vetor posição .

Passo 7

Agora, para encontrar o torque N = integral r times dF , usamos a fórmula:
N = integral s s times (I^prime mu0 n I , ds , phi)
Substituindo e da etapa anterior:

Passo 8

Calculando o produto vetorial N = integral s (I^prime mu0 n I) ds , z , que no sistema cilíndrico resulta em , a direção axial.
Então:

Passo 9

Fatorando as constantes que não dependem de N = I^prime mu0 n I z integral s , ds :
integral0^R s , ds = R^22
A integral de de 0 a (raio do solenoide):

Passo 10

Substituindo a integral resolvida de volta na expressão do torque:
N = I^prime mu0 n I z cdot R^22
Simplificando:
N = 12 mu0 n I I^prime R^2 z

Resposta

O torque sobre a haste é dado por:
N = 12 mu0 n I I^prime R^2 z

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