(fora do solenoide ).
A força sobre um segmento da haste é
onde é a corrente na haste; . Calcule o torque sobre a haste usando a equação
onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema que envolve força magnética e torque em um solenoide. A matéria principal aqui é o eletromagnetismo, especificamente o estudo das forças e torques em campos magnéticos. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam força magnética a correntes e campos magnéticos, além de calcular o torque através de integrais vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão para o campo magnético dentro do solenoide. Você já tem essa informação:
Isso significa que dentro do solenoide (quando a distância é menor que o raio ), o campo magnético é uniforme e na direção .

Passo 3

Fora do solenoide ( ), o campo magnético é zero:
Isso simplifica nossa análise, pois só precisamos considerar o campo dentro do solenoide.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a força sobre um segmento infinitesimal da haste:
Aqui, é a corrente na haste, e é o elemento de comprimento na direção radial .

Passo 5

Substituindo e na expressão da força:
Agora, vamos calcular o produto vetorial . No sistema de coordenadas cilíndricas, isso resulta em , a direção tangencial.

Passo 6

Portanto, a força fica:
Essa força está na direção tangencial, perpendicular ao vetor posição .

Passo 7

Agora, para encontrar o torque , usamos a fórmula:
Substituindo e da etapa anterior:

Passo 8

Calculando o produto vetorial , que no sistema cilíndrico resulta em , a direção axial.
Então:

Passo 9

Fatorando as constantes que não dependem de :
A integral de de 0 a (raio do solenoide):

Passo 10

Substituindo a integral resolvida de volta na expressão do torque:
Simplificando:

Resposta

O torque sobre a haste é dado por:

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