Considerando-se que V(t)=V 1(t)+V 2(t), sendo V 1(t)=100 V sen(w t+60^circ) e V 2(t)=80 V sen(wt-45^circ), calcule a tensão V(t) sabendo-se que a frequência do circuito elétrico é f=50 Hz (represente relação trigonométrica).

Passo 1

Resumo do Enunciado e Materia:
Temos duas tensões que variam com o tempo, dadas por:
V1(t) = 100,V cdot sin(omega t + 60^circ)
V2(t) = 80,V cdot sin(omega t - 45^circ)
Queremos encontrar a tensão total . A frequência do circuito é .
Conteúdo da Matéria:
Vamos usar conceitos de fasores e soma de senóides com a mesma frequência, mas diferentes amplitudes e fases.
O que vamos precisar:
  1. Calcular a frequência angular .
  2. Converter as tensões em fasores.
  3. Somar os fasores.
  4. Converter o fasor resultante de volta para a forma no tempo.

Passo 2

Calculando a Frequência Angular omega = 2pi f :
A frequência angular está relacionada à frequência omega = 2pi times 50 = 100pi,rad/s pela fórmula:
Substituindo :

Passo 3

Convertendo as Tensões em Fasores:
Cada tensão senoidal pode ser representada como um fasor no plano complexo. Temos:
V1 = 100,V ang<= 60^circ
V2 = 80,V ang<= -45^circ

Passo 4

Convertendo Fasores para Componentes Retangulares:
Vamos separar cada fasor em suas componentes real (x) e imaginária (y).
Para V1x = 100 cos(60^circ) = 100 times 0,5 = 50,V :
V1y = 100 sin(60^circ) = 100 times raiz32 approx 86,60,V
V2x = 80 cos(-45^circ) = 80 times raiz22 approx 56,57,V
Para V2y = 80 sin(-45^circ) = 80 times (-raiz22) approx -56,57,V :

Passo 5

Somando as Componentes dos Fasores:
Somamos as componentes x e y separadamente:
Vtotalx = V1x + V2x = 50 + 56,57 = 106,57,V
Vtotaly = V1y + V2y = 86,60 + (-56,57) = 30,03,V

Passo 6

Calculando a Magnitude e Fase do Fasor Resultante:
Magnitude:
Vtotal = raizVtotalx^2 + Vtotaly^2 = raiz106,57^2 + 30,03^2 approx raiz11359 + 901 approx raiz12260 approx 110,72,V
Fase:
phi = arctan(VtotalyVtotalx) = arctan(30,03106,57) approx arctan(0,281) approx 15,7^circ

Passo 7

Expressando a Tensão Total no Tempo:
Agora, transformamos o fasor resultante de volta para a forma no tempo usando a frequência angular calculada:
V(t) = Vtotal cdot sin(omega t + phi) = 110,72,V cdot sin(100pi t + 15,7^circ)

Resposta

A tensão total é:
V(t) = 110,72,V cdot sin(100pi t + 15,7^circ)

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