b) Se a neq 0 e b neq 0 em R, prove que (a b)^-1=a^-1 b^-1 e conclua que (ab)^-1=ba.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois números reais e , que são diferentes de zero ( e ). Precisamos provar que o inverso do produto é igual ao produto dos inversos de e , ou seja, . Depois, vamos usar esse resultado para concluir que o inverso de é .
Para resolver isso, vamos lembrar que o inverso de um número é aquele que, quando multiplicado por , resulta em 1. Também vamos usar as propriedades básicas da multiplicação de números reais.

Passo 2

Vamos começar provando que (ab) cdot (ab)^-1 = 1 .
Por definição, o inverso de (ab) cdot (a^-1 b^-1) = 1 é o número que, quando multiplicado por , dá 1. Ou seja:
Agora, substituímos por :

Passo 3

Vamos verificar se essa igualdade é verdadeira. Usando a propriedade comutativa da multiplicação (que diz que a ordem dos fatores não altera o produto), podemos rearranjar os termos:
a cdot a^-1 cdot b cdot b^-1 = 1
Sabemos que 1 cdot 1 = 1 e . Então temos:
Isso confirma que é verdadeiro.

Passo 4

Agora, vamos usar o resultado que acabamos de provar para encontrar o inverso de ab = a cdot b^-1 .
Primeiro, escrevemos como , já que dividir por é o mesmo que multiplicar por :

Passo 5

Queremos encontrar (a cdot b^-1)^-1 = a^-1 cdot (b^-1)^-1 . Usando a propriedade que o inverso do produto é o produto dos inversos, temos:
Sabemos que , pois o inverso do inverso retorna ao número original.

Passo 6

Substituindo, temos:
a^-1 cdot b = ba
Portanto, concluímos que:
(ab)^-1 = ba

Resposta

(ab)^-1 = a^-1 b^-1 e (ab)^-1 = ba

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