b) Se
e
em
, prove que
e conclua que
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois números reais
e
, que são diferentes de zero (
e
). Precisamos provar que o inverso do produto
é igual ao produto dos inversos de
e
, ou seja,
. Depois, vamos usar esse resultado para concluir que o inverso de
é
.
Para resolver isso, vamos lembrar que o inverso de um número
é aquele que, quando multiplicado por
, resulta em 1. Também vamos usar as propriedades básicas da multiplicação de números reais.
Passo 2
Vamos começar provando que
.
Por definição, o inverso de
é o número que, quando multiplicado por
, dá 1. Ou seja:
Agora, substituímos
por
:
Passo 3
Vamos verificar se essa igualdade é verdadeira. Usando a propriedade comutativa da multiplicação (que diz que a ordem dos fatores não altera o produto), podemos rearranjar os termos:
Sabemos que
e
. Então temos:
Isso confirma que
é verdadeiro.
Passo 4
Agora, vamos usar o resultado que acabamos de provar para encontrar o inverso de
.
Primeiro, escrevemos
como
, já que dividir por
é o mesmo que multiplicar por
:
Passo 5
Queremos encontrar
. Usando a propriedade que o inverso do produto é o produto dos inversos, temos:
Sabemos que
, pois o inverso do inverso retorna ao número original.
Passo 6
Substituindo, temos:
Portanto, concluímos que: