Quais os postos das matrizes associadas? Existe grau de liberdade? Se possível, apresente a solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com duas equações e quatro variáveis (, , , ). Nosso objetivo aqui é descobrir o posto das matrizes associadas a esse sistema, verificar se tem algum grau de liberdade (ou seja, variáveis que a gente pode escolher livremente) e, se der, apresentar a solução desse sistema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, posto e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as matrizes envolvidas. Temos duas matrizes principais:
Matriz dos coeficientes (A): É a matriz formada pelos números que estão na frente das variáveis nas equações.
Matriz aumentada (A|b): É a matriz dos coeficientes com mais uma coluna, que são os termos constantes das equações.
Passo 3
Agora, vamos calcular o posto de cada uma dessas matrizes. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) que são linearmente independentes. Para descobrir isso, vamos transformar as matrizes em forma escalonada, usando operações elementares de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e adicionar múltiplos de uma linha a outra).
Passo 4
Vamos começar com a matriz dos coeficientes (A):
Primeiro, queremos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (o número 2 na primeira posição). Para isso, podemos substituir a segunda linha por (linha 2 - 2 × linha 1):
Agora, a matriz fica assim:
Como não temos mais linhas para simplificar, o posto da matriz A é 2.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para a matriz aumentada (A|b):
Novamente, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô:
Então, a matriz aumentada fica:
O posto da matriz aumentada também é 2.
Passo 6
Com os postos das matrizes A e A|b iguais (ambos são 2), isso significa que o sistema tem infinitas soluções. Além disso, como temos 4 variáveis e o posto é 2, podemos calcular o grau de liberdade, que é dado pela diferença entre o número de variáveis e o posto:
Ou seja, temos 2 graus de liberdade, o que quer dizer que podemos escolher 2 variáveis como livres e expressar as outras em função delas.
Passo 7
Agora, se a gente quiser, dá para representar a solução do sistema. Vamos usar as equações simplificadas que obtivemos:
Da segunda equação, podemos isolar :
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, podemos expressar as soluções em termos de e :
Resposta
As matrizes associadas têm posto 2, o sistema possui 2 graus de liberdade e sua solução pode ser expressa em termos das variáveis livres x = 86 - 20z - 21t y = 11 - 2z - 3t z livre t livre e da seguinte forma: