Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que o seguinte sistema seja compatível.
r x+2 y=a -2 x+y=b -x+y=c

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com duas incógnitas:
r x + 2y = a -2x + y = b -x + y = c
O conteúdo aqui é de sistemas lineares, especificamente sobre a compatibilidade do sistema, ou seja, quando existe pelo menos uma solução. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de análise de consistência dos sistemas lineares, verificando se as equações não se contradizem.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação de técnicas de resolução.
A matriz aumentada fica assim:
1 & 2 & | & a -2 & 1 & | & b -1 & 1 & | & c

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar condições sobre 2(1x + 2y) + (-2x + y) = 2a + b 2x + 4y - 2x + y = 2a + b 5y = 2a + b que garantam a compatibilidade do sistema.
Primeiro, vamos usar a primeira equação para eliminar o 1x + 2y + (-1x + y) = a + c 0x + 3y = a + c das outras equações.
Multiplicamos a primeira equação por 2 e somamos à segunda:
Agora, fazemos o mesmo com a terceira equação: multiplicamos a primeira equação por 1 e somamos à terceira:

Passo 4

Chegamos a um novo sistema simplificado:
r 5y = 2a + b 3y = a + c
Para que esse sistema tenha solução, as duas equações devem ser consistentes entre si. Ou seja, os valores de obtidos devem ser iguais.

Passo 5

Igualamos as duas expressões para 2a + b5 = a + c3 :
3(2a + b) = 5(a + c) 6a + 3b = 5a + 5c
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a condição que a + 3b = 5c devem satisfazer.
Multiplicamos ambos os lados por 15 (múltiplo comum de 5 e 3) para eliminar os denominadores:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

A condição que os termos independentes devem satisfazer para que o sistema seja compatível é:
a + 3b = 5c

Exercícios relacionados