(b) Obtenha uma solução geral da EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) . Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares, especificamente a solução geral que combina a solução da homogênea com a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da EDO, ou seja, a equação associada . Para isso, encontramos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Então, temos duas raízes reais:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a EDO completa . Como o lado direito da equação é da forma , vamos supor que a solução particular seja:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituindo , e na EDO:
Substituindo as expressões encontradas:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes:
Para :
Para :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde e são constantes arbitrárias.

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