(b) Obtenha uma solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO)
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares, especificamente a solução geral que combina a solução da homogênea com a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da EDO, ou seja, a equação associada
. Para isso, encontramos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Então, temos duas raízes reais:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a EDO completa
. Como o lado direito da equação é da forma
, vamos supor que a solução particular seja:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
,
e
na EDO:
Substituindo as expressões encontradas:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes:
Para
:
Para
:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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