Teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e precisa ver se ela é exata. Se for, a gente resolve. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas. Precisamos saber identificar se a equação é exata e, se for, seguir os passos para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Ela está na forma , onde:

Passo 3

Agora, para testar se a equação é exata, a gente verifica se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos checar se:
Vamos calcular:
Como , a equação é realmente exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é constante. Podemos chamar essa constante de .

Resposta

A solução geral da equação é:

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(b) Obtenha uma solução geral da EDO
(a) Obtenha à série de senos da função
pontos)