Teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e precisa ver se ela é exata. Se for, a gente resolve. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas. Precisamos saber identificar se a equação é exata e, se for, seguir os passos para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Ela está na forma
, onde:
Passo 3
Agora, para testar se a equação é exata, a gente verifica se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos checar se:
Vamos calcular:
Como
, a equação é realmente exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos chamar essa constante de
.
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
(b) Obtenha uma solução geral da EDO
(a) Obtenha à série de senos da função