(a) Obtenha à série de senos da função
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de senos da função
no intervalo
. Isso significa que vamos representar a função
como uma soma infinita de funções senoidais. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Série de Fourier específica para funções que possuem apenas termos de senos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a série de senos de Fourier é usada para representar funções que são ímpares em relação ao ponto médio do intervalo. No nosso caso, como estamos trabalhando no intervalo
, vamos expandir
usando senos. A forma geral da série de senos é:
Passo 3
Para encontrar os coeficientes
, usamos a fórmula específica para a série de senos:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. Podemos usar a integração por partes, onde escolhemos:
-
=> -
=>
Aplicando a integração por partes:
Continuando a integração:
Passo 5
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Finalmente, substituímos os coeficientes
na série de senos:
Resposta
A série de senos da função
no intervalo
é:
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(b) Obtenha uma solução geral da EDO