(a) Obtenha à série de senos da função f(x) = x, 0 <= x <= 1

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de senos da função no intervalo . Isso significa que vamos representar a função como uma soma infinita de funções senoidais. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Série de Fourier específica para funções que possuem apenas termos de senos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a série de senos de Fourier é usada para representar funções que são ímpares em relação ao ponto médio do intervalo. No nosso caso, como estamos trabalhando no intervalo , vamos expandir usando senos. A forma geral da série de senos é:

Passo 3

Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula específica para a série de senos:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. Podemos usar a integração por partes, onde escolhemos:
  • =>
  • =>
Aplicando a integração por partes:
Continuando a integração:

Passo 5

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Finalmente, substituímos os coeficientes na série de senos:

Resposta

A série de senos da função no intervalo é:

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