Teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, resolver a equação. Para isso, precisamos usar conceitos de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
Vamos identificar e na nossa equação:

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso significa que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 6

Assim, a função potencial fica:
Como é constante, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ou equivalentemente,
onde é uma constante real.

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(a) Obtenha a transformada de Laplace da função .
Forneça os valores das constantes e tais que as funções dadas satisfaçam as condições: , onde e .
(b) Obtenha uma solução geral da EDO