Teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, resolver a equação. Para isso, precisamos usar conceitos de equações diferenciais exatas.
Passo 2
Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso significa que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 6
Assim, a função potencial
fica:
Como
é constante, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
ou equivalentemente,
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
(a) Obtenha a transformada de Laplace da função
.
Forneça os valores das constantes
e
tais que as funções dadas satisfaçam as condições:
, onde
e
.
(b) Obtenha uma solução geral da EDO