(b) Pode haver uma transformação linear injetora e não-sobrejetora
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se pode existir uma transformação linear que é injetora mas não sobrejetora, denotada por
. Aqui, estamos lidando com espaços vetoriais e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
.
é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Esse espaço tem dimensão 4, porque podemos ter polinômios como
.
Já
é o espaço vetorial de 4 dimensões, composto por vetores com 4 componentes reais.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de duas propriedades importantes de transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensões finitas:
- Injetora: Cada vetor no domínio é mapeado para um vetor distinto no contradomínio. Isso significa que o núcleo da transformação contém apenas o vetor zero.
- Sobrejetora: A imagem da transformação é todo o contradomínio. Ou seja, para todo vetor em
, existe um vetor em que é mapeado para ele.
Passo 4
Em espaços vetoriais finitos, se a transformação linear
é injetora e os espaços de partida e chegada têm a mesma dimensão, então
também é sobrejetora. Isso é uma consequência do Teorema da Dimensão, que relaciona a dimensão do domínio, a dimensão da imagem e a dimensão do núcleo.
Passo 5
No nosso caso, tanto
quanto
têm dimensão 4. Então, se
for injetora, pelo Teorema da Dimensão, a imagem de
também terá dimensão 4, o que implica que
é sobrejetora.
Resposta
Não, não pode existir uma transformação linear injetora e não-sobrejetora
.