(b) Pode haver uma transformação linear injetora e não-sobrejetora S: P3(R) R^4 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se pode existir uma transformação linear que é injetora mas não sobrejetora, denotada por . Aqui, estamos lidando com espaços vetoriais e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e . é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Esse espaço tem dimensão 4, porque podemos ter polinômios como .
é o espaço vetorial de 4 dimensões, composto por vetores com 4 componentes reais.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de duas propriedades importantes de transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensões finitas:
  1. Injetora: Cada vetor no domínio é mapeado para um vetor distinto no contradomínio. Isso significa que o núcleo da transformação contém apenas o vetor zero.
  2. Sobrejetora: A imagem da transformação é todo o contradomínio. Ou seja, para todo vetor em , existe um vetor em que é mapeado para ele.

Passo 4

Em espaços vetoriais finitos, se a transformação linear é injetora e os espaços de partida e chegada têm a mesma dimensão, então também é sobrejetora. Isso é uma consequência do Teorema da Dimensão, que relaciona a dimensão do domínio, a dimensão da imagem e a dimensão do núcleo.

Passo 5

No nosso caso, tanto quanto têm dimensão 4. Então, se for injetora, pelo Teorema da Dimensão, a imagem de também terá dimensão 4, o que implica que é sobrejetora.

Resposta

Não, não pode existir uma transformação linear injetora e não-sobrejetora .

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