Verifique se a resolução está correta, caso contrário, indique o(s) erro(s) e corrija-o(s):
a) A reta é paralela ao plano .
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma reta definida pelas equações e . A questão quer saber se essa reta é paralela ao plano . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre vetores diretores de retas e vetores normais de planos, além de saber como verificar se uma reta é paralela a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . As equações paramétricas da reta são:
Podemos reescrever a segunda equação para obter . Como é constante (sempre 2), isso significa que a reta não se move ao longo do eixo . O vetor diretor da reta mostra a direção em que a reta está se movendo. Observando as equações, vemos que para cada aumento de 1 em , aumenta também em 1. Portanto, o vetor diretor é:
Passo 3
Agora, vamos considerar o plano x = 0 . As equações de um plano podem ser representadas na forma geral n = 1 0 0 . Para o plano , qualquer ponto no plano tem . Então, a equação do plano é simplesmente:
O vetor normal a esse plano é perpendicular ao plano e é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Aqui, como temos , o vetor normal é:
Passo 4
Para verificar se a reta d cdot n = (0)(1) + (1)(0) + (1)(0) = 0 é paralela ao plano , precisamos verificar se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano . Isso porque, se o vetor diretor for perpendicular ao vetor normal, a reta não corta o plano, logo é paralela a ele. Para verificar a perpendicularidade, calculamos o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares.