(b) Quantas sequências binárias de comprimento 15 possuem mais zeros do que uns?
Passo 1
Vamos lá! O problema pede para saber quantas sequências binárias de comprimento 15 têm mais zeros do que uns. Isso está relacionado à combinatória, que estuda as contagens de diferentes arranjos possíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como contar combinações específicas de zeros e uns em uma sequência de 15 posições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter mais zeros do que uns em uma sequência de 15 bits. Como 15 é um número ímpar, para ter mais zeros, precisamos de no mínimo 8 zeros (porque 8 é mais que metade de 15, que é 7,5). Então, as sequências podem ter 8, 9, 10, …, até 15 zeros.
Passo 3
Agora, para cada quantidade de zeros, vamos calcular quantas sequências existem. Isso é feito usando o coeficiente binomial, representado por
, que calcula de quantas maneiras podemos escolher
posições para os zeros em uma sequência de
posições.
Por exemplo,
nos dá o número de sequências com exatamente 8 zeros.
Passo 4
Vamos calcular o número de sequências para cada quantidade de zeros de 8 a 15:
Passo 5
Mas, há uma forma mais fácil de somar todos esses coeficientes binomiais. Sabemos que a soma de todos os coeficientes binomiais de
a
é igual a
. Como a distribuição é simétrica e 15 é ímpar, exatamente metade das sequências terá mais zeros que uns.
Passo 6
Portanto, o número total de sequências com mais zeros que uns é:
Resposta
Há
sequências binárias de comprimento 15 que possuem mais zeros do que uns.
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