(b) Quantas sequências binárias de comprimento 15 possuem mais zeros do que uns?

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para saber quantas sequências binárias de comprimento 15 têm mais zeros do que uns. Isso está relacionado à combinatória, que estuda as contagens de diferentes arranjos possíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como contar combinações específicas de zeros e uns em uma sequência de 15 posições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter mais zeros do que uns em uma sequência de 15 bits. Como 15 é um número ímpar, para ter mais zeros, precisamos de no mínimo 8 zeros (porque 8 é mais que metade de 15, que é 7,5). Então, as sequências podem ter 8, 9, 10, …, até 15 zeros.

Passo 3

Agora, para cada quantidade de zeros, vamos calcular quantas sequências existem. Isso é feito usando o coeficiente binomial, representado por , que calcula de quantas maneiras podemos escolher posições para os zeros em uma sequência de posições.
Por exemplo, nos dá o número de sequências com exatamente 8 zeros.

Passo 4

Vamos calcular o número de sequências para cada quantidade de zeros de 8 a 15:
binom158 + binom159 + binom1510 + dots + binom1515

Passo 5

Mas, há uma forma mais fácil de somar todos esses coeficientes binomiais. Sabemos que a soma de todos os coeficientes binomiais de a é igual a . Como a distribuição é simétrica e 15 é ímpar, exatamente metade das sequências terá mais zeros que uns.

Passo 6

Portanto, o número total de sequências com mais zeros que uns é:
2^152 = 2^14

Resposta

sequências binárias de comprimento 15 que possuem mais zeros do que uns.

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