Quantas combinações de 4 objetos tomados de 3 em 3 com possíveis repetições existem? Rotulando os objetos de a, b, c e d, liste todas essas combinações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para descobrir quantas combinações de 4 objetos, tomados de 3 em 3 com possíveis repetições, existem. A gente vai precisar entender sobre combinações com repetição para resolver isso. Além disso, vamos listar todas as combinações possíveis usando os objetos a, b, c e d.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são combinações com repetição. Diferente das combinações simples, onde cada elemento só pode aparecer uma vez, nas combinações com repetição, os mesmos elementos podem ser escolhidos mais de uma vez. Isso é útil quando queremos saber de quantas maneiras podemos selecionar itens onde repetições são permitidas e a ordem não importa.

Passo 3

Para calcular o número de combinações com repetição, usamos a fórmula:
C(n + k - 1, k) = (n + k - 1)!k! cdot (n - 1)!
Onde:
  • a, b, c, d é o número de tipos de objetos disponíveis (neste caso, 4: ).
  • é o número de objetos que queremos escolher (neste caso, 3).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
C(4 + 3 - 1, 3) = C(6, 3) = 6!3! cdot (6 - 3)! = 7206 cdot 6 = 72036 = 20
Então, existem 20 combinações possíveis.

Passo 5

Agora, vamos listar todas essas combinações. Como a ordem não importa e as repetições são permitidas, as combinações possíveis dos objetos a, b, c e d tomados 3 a 3 são:
  1. aaa
  2. aab
  3. aac
  4. aad
  5. abb
  6. abc
  7. abd
  8. acc
  9. acd
  10. add
  11. bbb
  12. bbc
  13. bbd
  14. bcc
  15. bcd
  16. bdd
  17. ccc
  18. ccd
  19. cdd
  20. ddd

Resposta

Existem 20 combinações de 4 objetos tomados de 3 em 3 com possíveis repetições. As combinações são:
  1. aaa
  2. aab
  3. aac
  4. aad
  5. abb
  6. abc
  7. abd
  8. acc
  9. acd
  10. add
  11. bbb
  12. bbc
  13. bbd
  14. bcc
  15. bcd
  16. bdd
  17. ccc
  18. ccd
  19. cdd
  20. ddd

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