(a) Mostre que números zero e números um podem ser concatenados sem que dois números zero fiquem juntos de maneiras diferentes;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para mostrarmos que, ao ter zeros e uns, a quantidade de formas de juntar esses números sem que dois zeros fiquem juntos é . Vamos usar conceitos de combinatória para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, imagine que temos que colocar os zeros na sequência. A restrição é que nenhum zero pode ficar ao lado de outro. Para garantir isso, vamos pensar nos espaços onde os zeros podem ser inseridos entre os uns.

Passo 3

Se tivermos uns, esses uns criam espaços onde os zeros podem ser colocados: antes do primeiro um, entre os uns e depois do último um. Visualmente, fica assim:
Aqui, cada “_” representa um espaço disponível para colocar um zero.

Passo 4

Agora, precisamos distribuir os zeros nesses espaços. Como não podemos colocar mais de um zero em um mesmo espaço (para evitar que fiquem juntos), estamos basicamente escolhendo espaços diferentes entre os disponíveis.

Passo 5

A quantidade de maneiras de escolher espaços dentre é dada pelas combinações, representadas por . Isso significa que estamos selecionando posições sem importar a ordem.

Resposta

Portanto, o número de maneiras de concatenar zeros e uns sem que dois zeros fiquem juntos é .

Exercícios relacionados

(b) Quantas sequências binárias de comprimento 15 possuem mais zeros do que uns?
Quantas combinações de 4 objetos tomados de 3 em 3 com possíveis repetições existem? Rotulando os objetos de e , liste todas essas combinações.
(a) Determine para que valores de , o coeficiente binomial é máximo;
Demonstre a identidade hexagonal
Justifique o nome dado à identidade.