(a) Mostre que p números zero e q >= p-1 números um podem ser concatenados sem que dois números zero fiquem juntos de binomq+1p maneiras diferentes;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para mostrarmos que, ao ter p zeros e q >= p-1 uns, a quantidade de formas de juntar esses números sem que dois zeros fiquem juntos é binomq+1p. Vamos usar conceitos de combinatória para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, imagine que temos que colocar os p zeros na sequência. A restrição é que nenhum zero pode ficar ao lado de outro. Para garantir isso, vamos pensar nos espaços onde os zeros podem ser inseridos entre os uns.

Passo 3

Se tivermos q uns, esses uns criam q+1 espaços onde os zeros podem ser colocados: antes do primeiro um, entre os uns e depois do último um. Visualmente, fica assim:
, 1 , , 1 , , dots , 1 ,
Aqui, cada “_” representa um espaço disponível para colocar um zero.

Passo 4

Agora, precisamos distribuir os p zeros nesses q+1 espaços. Como não podemos colocar mais de um zero em um mesmo espaço (para evitar que fiquem juntos), estamos basicamente escolhendo p espaços diferentes entre os q+1 disponíveis.

Passo 5

A quantidade de maneiras de escolher p espaços dentre q+1 é dada pelas combinações, representadas por binomq+1p. Isso significa que estamos selecionando p posições sem importar a ordem.

Resposta

Portanto, o número de maneiras de concatenar p zeros e q >= p-1 uns sem que dois zeros fiquem juntos é boxeddbinomq+1p.

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