(a) Mostre que
números zero e
números um podem ser concatenados sem que dois números zero fiquem juntos de
maneiras diferentes;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para mostrarmos que, ao ter
zeros e
uns, a quantidade de formas de juntar esses números sem que dois zeros fiquem juntos é
. Vamos usar conceitos de combinatória para chegar nessa resposta.
Passo 2
Primeiro, imagine que temos que colocar os
zeros na sequência. A restrição é que nenhum zero pode ficar ao lado de outro. Para garantir isso, vamos pensar nos espaços onde os zeros podem ser inseridos entre os uns.
Passo 3
Se tivermos
uns, esses uns criam
espaços onde os zeros podem ser colocados: antes do primeiro um, entre os uns e depois do último um. Visualmente, fica assim:
Aqui, cada “_” representa um espaço disponível para colocar um zero.
Passo 4
Agora, precisamos distribuir os
zeros nesses
espaços. Como não podemos colocar mais de um zero em um mesmo espaço (para evitar que fiquem juntos), estamos basicamente escolhendo
espaços diferentes entre os
disponíveis.
Passo 5
A quantidade de maneiras de escolher
espaços dentre
é dada pelas combinações, representadas por
. Isso significa que estamos selecionando
posições sem importar a ordem.
Resposta
Portanto, o número de maneiras de concatenar
zeros e
uns sem que dois zeros fiquem juntos é
.
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, o coeficiente binomial
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