(a) Determine para que valores de k, 0 <= k <= n, o coeficiente binomial binomnk é máximo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de , entre e , o coeficiente binomial é o máximo. Isso envolve entender o que é um coeficiente binomial e como ele se comporta conforme mudamos o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o coeficiente binomial binomnk = n!k!(n - k)! representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto com elementos. A fórmula para calcular esse coeficiente é:
Onde é o fatorial de .

Passo 3

Para encontrar o valor de que maximiza , vamos analisar como esse coeficiente muda conforme aumentamos . Observamos que aumenta até chegar perto de e depois começa a diminuir. Isso acontece porque, no meio, o número de combinações possíveis é maior.

Passo 4

Vamos ver isso de forma mais matemática. Comparando binomnk+1binomnk = n - kk + 1 com , temos:
Quando essa razão é maior que 1, é maior que , indicando que estamos subindo até o ponto máximo.

Passo 5

Encontramos o ponto onde essa razão é igual a 1:
n - kk + 1 = 1 implies n - k = k + 1 implies 2k = n - 1 implies k = n - 12
Isso sugere que o máximo ocorre em torno de .

Passo 6

Dependendo se é par ou ímpar:
  • Se é par, é inteiro e é máximo nesse ponto.
  • Se é ímpar, os coeficientes máximos ocorrem para e .

Resposta

O coeficiente binomial é máximo quando é igual a se for par, ou quando é e se for ímpar.

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