(a) Determine para que valores de
, o coeficiente binomial
é máximo;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de
, entre
e
, o coeficiente binomial
é o máximo. Isso envolve entender o que é um coeficiente binomial e como ele se comporta conforme mudamos o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o coeficiente binomial
representa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos. A fórmula para calcular esse coeficiente é:
Onde
é o fatorial de
.
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos analisar como esse coeficiente muda conforme aumentamos
. Observamos que
aumenta até chegar perto de
e depois começa a diminuir. Isso acontece porque, no meio, o número de combinações possíveis é maior.
Passo 4
Vamos ver isso de forma mais matemática. Comparando
com
, temos:
Quando essa razão é maior que 1,
é maior que
, indicando que estamos subindo até o ponto máximo.
Passo 5
Encontramos o ponto onde essa razão é igual a 1:
Isso sugere que o máximo ocorre em torno de
.
Passo 6
Dependendo se
é par ou ímpar:
- Se
é par, é inteiro e é máximo nesse ponto. - Se
é ímpar, os coeficientes máximos ocorrem para e .
Resposta
O coeficiente binomial
é máximo quando
é igual a
se
for par, ou quando
é
e
se
for ímpar.