Duas retas paralelas são marcadas uma em
pontos e outra em
pontos distintos.
(a) Quantos triângulos diferentes podemos formar usando esses pontos?
(a) Quantos triângulos diferentes podemos formar usando esses pontos?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente tem duas retas paralelas: uma com n pontos e outra com k pontos, todos distintos. A pergunta é: quantos triângulos diferentes podemos formar usando esses pontos? Vamos usar conceitos de combinações e geometria básica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que um triângulo é formado por três pontos que não estão todos na mesma reta. Como temos duas retas paralelas, se escolhermos três pontos na mesma reta, eles vão ficar alinhados e não formarão um triângulo. Então, para formar um triângulo, precisamos escolher pontos de ambas as retas.
Passo 3
Vamos pensar nas possibilidades de escolher os pontos:
- Dois pontos na primeira reta (com n pontos) e um ponto na segunda reta (com k pontos).
- Dois pontos na segunda reta (com k pontos) e um ponto na primeira reta (com n pontos).
Cada uma dessas escolhas vai garantir que os três pontos não fiquem na mesma reta, formando assim um triângulo.
Passo 4
Agora, vamos calcular quantas combinações temos em cada caso:
-
Escolher 2 pontos na primeira reta e 1 ponto na segunda reta:
- O número de maneiras de escolher 2 pontos entre n é dado pela combinação
. - O número de maneiras de escolher 1 ponto entre k é
. - Então, o total de triângulos nesse caso é
.
- O número de maneiras de escolher 2 pontos entre n é dado pela combinação
-
Escolher 2 pontos na segunda reta e 1 ponto na primeira reta:
- O número de maneiras de escolher 2 pontos entre k é
. - O número de maneiras de escolher 1 ponto entre n é
. - Então, o total de triângulos nesse caso é
.
- O número de maneiras de escolher 2 pontos entre k é
Passo 5
Para encontrar o número total de triângulos diferentes que podemos formar, basta somar as duas situações:
Resposta
O número total de triângulos diferentes que podemos formar é dado por: