Duas retas paralelas são marcadas uma em n pontos e outra em k pontos distintos.
(a) Quantos triângulos diferentes podemos formar usando esses pontos?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente tem duas retas paralelas: uma com n pontos e outra com k pontos, todos distintos. A pergunta é: quantos triângulos diferentes podemos formar usando esses pontos? Vamos usar conceitos de combinações e geometria básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que um triângulo é formado por três pontos que não estão todos na mesma reta. Como temos duas retas paralelas, se escolhermos três pontos na mesma reta, eles vão ficar alinhados e não formarão um triângulo. Então, para formar um triângulo, precisamos escolher pontos de ambas as retas.

Passo 3

Vamos pensar nas possibilidades de escolher os pontos:
  1. Dois pontos na primeira reta (com n pontos) e um ponto na segunda reta (com k pontos).
  2. Dois pontos na segunda reta (com k pontos) e um ponto na primeira reta (com n pontos).
Cada uma dessas escolhas vai garantir que os três pontos não fiquem na mesma reta, formando assim um triângulo.

Passo 4

Agora, vamos calcular quantas combinações temos em cada caso:
  1. Escolher 2 pontos na primeira reta e 1 ponto na segunda reta:
    • O número de maneiras de escolher 2 pontos entre n é dado pela combinação .
    • O número de maneiras de escolher 1 ponto entre k é .
    • Então, o total de triângulos nesse caso é .
  2. Escolher 2 pontos na segunda reta e 1 ponto na primeira reta:
    • O número de maneiras de escolher 2 pontos entre k é .
    • O número de maneiras de escolher 1 ponto entre n é .
    • Então, o total de triângulos nesse caso é .

Passo 5

Para encontrar o número total de triângulos diferentes que podemos formar, basta somar as duas situações:
Total de triângulos = binomn2 times binomk1 + binomk2 times binomn1 â

Resposta

O número total de triângulos diferentes que podemos formar é dado por:
binomn2 times k + binomk2 times n

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