(b) Resolva a equação para obter o perfil de temperatura na parede do tanque em função da posição radial, usando como condições de contorno as temperaturas das superfícies (em ) e (em );

Passo 1

Nesse exercício, a gente vai descobrir como a temperatura varia ao longo da parede de um tanque, dependendo da posição radial. Vamos usar a equação de condução de calor para cilindros e as condições de contorno que nos dão as temperaturas nas superfícies internas e externas do tanque, que são em e em .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de condução de calor no estado estacionário para coordenadas cilíndricas, assumindo que não há geração de calor dentro da parede. A equação fica assim:
Essa equação nos diz como a temperatura muda em relação à posição radial dentro da parede do tanque.

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação. Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Integrando ambos os lados em relação a , obtemos:
Aqui, é uma constante de integração que vamos determinar depois.

Passo 4

Vamos isolar na equação:
Agora, integramos novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Para encontrar as constantes e , usamos as condições de contorno fornecidas:
  1. Quando , :
  1. Quando , :

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 7

Finalmente, substituímos e na expressão de :
Simplificando, a expressão pode ser reescrita como:

Resposta

O perfil de temperatura na parede do tanque em função da posição radial é dado por:

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