(b) Resolva a equação para obter o perfil de temperatura na parede do tanque em função da posição radial, usando como condições de contorno as temperaturas das superfícies (em ) e (em );
Passo 1
Nesse exercício, a gente vai descobrir como a temperatura varia ao longo da parede de um tanque, dependendo da posição radial. Vamos usar a equação de condução de calor para cilindros e as condições de contorno que nos dão as temperaturas nas superfícies internas e externas do tanque, que são em e em .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de condução de calor no estado estacionário para coordenadas cilíndricas, assumindo que não há geração de calor dentro da parede. A equação fica assim:
Essa equação nos diz como a temperatura muda em relação à posição radial dentro da parede do tanque.
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação. Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Integrando ambos os lados em relação a , obtemos:
Aqui, é uma constante de integração que vamos determinar depois.
Passo 4
Vamos isolar na equação:
Agora, integramos novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração.
Passo 5
Para encontrar as constantes e , usamos as condições de contorno fornecidas:
Quando , :
Quando , :
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :
Passo 7
Finalmente, substituímos e na expressão de :
Simplificando, a expressão pode ser reescrita como:
Resposta
O perfil de temperatura na parede do tanque em função da posição radial é dado por: