(b) Resolva a equação para obter o perfil de temperatura na parede do tanque em função da posição radial, usando como condições de contorno as temperaturas das superfícies T1 (em r=r1 ) e T2 (em r=r2 );

Passo 1

Nesse exercício, a gente vai descobrir como a temperatura varia ao longo da parede de um tanque, dependendo da posição radial. Vamos usar a equação de condução de calor para cilindros e as condições de contorno que nos dão as temperaturas nas superfícies internas e externas do tanque, que são T1 em r = r1 e T2 em r = r2.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de condução de calor no estado estacionário para coordenadas cilíndricas, assumindo que não há geração de calor dentro da parede. A equação fica assim:
1r ddr ( r dTdr ) = 0
Essa equação nos diz como a temperatura T muda em relação à posição radial r dentro da parede do tanque.

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação. Multiplicamos ambos os lados por r para eliminar o denominador:
ddr ( r dTdr ) = 0
Integrando ambos os lados em relação a r, obtemos:
r dTdr = C1
Aqui, C1 é uma constante de integração que vamos determinar depois.

Passo 4

Vamos isolar dTdr na equação:
dTdr = C1r
Agora, integramos novamente para encontrar T(r):
T(r) = C1 ln(r) + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Passo 5

Para encontrar as constantes C1 e C2, usamos as condições de contorno fornecidas:
  1. Quando r = r1, T = T1:
T1 = C1 ln(r1) + C2
  1. Quando r = r2, T = T2:
T2 = C1 ln(r2) + C2

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar C1 e C2. Subtraindo a primeira equação da segunda:
T2 - T1 = C1 ( ln(r2) - ln(r1) ) implies C1 = T2 - T1ln(r2r1)
Agora, substituímos C1 na primeira equação para encontrar C2:
C2 = T1 - C1 ln(r1) = T1 - T2 - T1ln(r2r1) ln(r1)

Passo 7

Finalmente, substituímos C1 e C2 na expressão de T(r):
T(r) = T2 - T1ln(r2r1) ln(r) + ( T1 - T2 - T1ln(r2r1) ln(r1) )
Simplificando, a expressão pode ser reescrita como:
T(r) = T1 ln(r2) - ln(r)ln(r2r1) + T2 ln(r) - ln(r1)ln(r2r1)

Resposta

O perfil de temperatura na parede do tanque em função da posição radial r é dado por:
T(r) = T1 ln(r2) - ln(r)ln(r2r1) + T2 ln(r) - ln(r1)ln(r2r1)

Exercícios relacionados