Considere uma extensa parede plana de espessura , condutividade térmica e área da superfície . A superfície esquerda da parede está exposta ao ar ambiente a temperatura , com coeficiente de transferência de calor , enquanto a superfície direita é isolada. A variação da temperatura na parede para condução de calor unidimensional permanente sem geração de calor é
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma parede plana bem grossa com uma espessura , condutividade térmica e área da superfície . A parte de esquerda da parede está exposta ao ar ambiente com temperatura e tem um coeficiente de transferência de calor . Já a parte de direita da parede está isolada, ou seja, não troca calor com o ambiente. Queremos descobrir como a temperatura varia ao longo dessa parede quando o calor está sendo conduzido de forma unidimensional e permanente, sem geração de calor interna. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução e convecção de calor, além de resolver uma equação diferencial simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em regime permanente, a temperatura na parede não muda com o tempo. Isso significa que a distribuição de temperatura depende apenas da posição na parede. Como não há geração de calor dentro da parede, a equação básica que descreve a condução de calor unidimensional é:
Essa equação nos diz que a segunda derivada da temperatura em relação à posição é zero, implicando que a temperatura varia de forma linear ao longo da parede.
Passo 3
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a expressão para a temperatura . Integrando uma vez em relação a , temos:
Onde é uma constante de integração. Isso significa que a primeira derivada da temperatura em relação a é constante, o que reforça a ideia de uma variação linear.
Passo 4
Integrando novamente, encontramos a expressão para a temperatura:
Aqui, é outra constante de integração. Portanto, a temperatura varia linearmente com , e precisamos determinar e usando as condições de contorno fornecidas.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição de contorno, que está na superfície esquerda da parede (). Essa superfície está em contato com o ar ambiente, então usamos a condição de convecção:
Sabemos que , então substituindo:
Passo 6
A segunda condição de contorno é na superfície direita da parede (), que está isolada. Isso significa que não há fluxo de calor através dessa superfície:
Como , temos:
Passo 7
Com , nossa equação para simplifica para:
Isso indicaria que a temperatura é constante em toda a parede, o que não faz sentido físico no contexto dado. Parece que houve um erro na aplicação das condições de contorno. Vamos revisar a condição de isolamento na superfície direita.
Na superfície direita, a derivada da temperatura é zero:
No entanto, isso implicaria que a temperatura seria constante, apenas igual a se considerarmos a condição de contorno na esquerda.
Passo 8
Parece que houve uma confusão. Na verdade, a condição correta na superfície direita isolada indica que não há fluxo de calor, mas não necessariamente que . Vamos reavaliar.
Voltando à condição de contorno na esquerda:
E na direita, como não há fluxo de calor:
Com , substituímos na primeira equação:
Portanto, a temperatura é constante em toda a parede e igual a .
Resposta
A variação da temperatura na parede é constante e igual à temperatura ambiente: