b) Um sistema apresenta movimento harmônico de 15 ciclos/s e a sua velocidade máxima é de 5 m / s. Determine o a amplitude do movimento X, o período de oscilação T e a máxima aceleração ddotxmax desse sistema. Considere x(t)=X cdot sen(omega t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve Movimento Harmônico Simples (MHS). Precisamos encontrar três coisas: a amplitude do movimento ( X), o período de oscilação ( T) e a máxima aceleração ( ddotxmax). Sabemos que o sistema faz 15 ciclos por segundo (15 Hz) e a velocidade máxima é de 5 m/s. Vamos usar a equação x(t)=X cdot sen(omega t) para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a frequência angular ( omega). A frequência ( f) é 15 ciclos/s, então:
omega = 2pi f = 2pi times 15 = 30pi , rad/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar a amplitude ( X). Sabemos que a velocidade máxima ( vmax) é dada por:
vmax = omega X
Rearranjando para X:
X = vmaxomega = 530pi = 16pi approx 0,053 , m

Passo 4

Em seguida, o período de oscilação ( T) é o inverso da frequência:
T = 1f = 115 approx 0,0667 , s

Passo 5

Por último, vamos calcular a máxima aceleração ( ddotxmax). A aceleração em MHS é dada por:
ddotx(t) = -omega^2 X cdot sen(omega t)
Então, a máxima aceleração ocorre quando sen(omega t) = 1:
ddotxmax = omega^2 X = (30pi)^2 times 16pi = 900pi^26pi = 150pi approx 471,24 , m/s^2

Resposta

A amplitude do movimento é aproximadamente 0,053 metros, o período de oscilação é cerca de 0,0667 segundos e a máxima aceleração é aproximadamente 471,24 m/s².

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