e) Um sistema vibrante composto por massa, mola e amortecedor apresenta uma massa de 60 kg e uma rigidez de 35 N / mm. O amortecedor possui uma constante de amortecimento viscoso que equivale a 30 % da constante de amortecimento crítico. A partir destas informações, determine: a) o fator de amortecimento; b) A constante de amortecimento crítico do sistema; c) a frequência natural amortecida; d) o decremento logarítmico; e) a razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas vibratórios! O enunciado fala de um sistema composto por massa, mola e amortecedor. A gente tem:
  • Massa ( m) = 60 kg
  • Rigidez da mola ( k) = 35 N/mm = 35,000 N/m (convertendo de mm para m)
  • A constante de amortecimento viscoso ( c) é 30% da constante de amortecimento crítico ( cc)
Vamos precisar de conceitos de amortecimento em sistemas vibratórios, como fator de amortecimento, constante de amortecimento crítico, frequência natural amortecida, decremento logarítmico e a razão de amplitudes consecutivas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante de amortecimento crítico ( cc). A constante de amortecimento crítico é aquela que faz o sistema passar do estado subamortecido para superamortecido. A fórmula para cc é:
cc = 2 raizm k
Vamos calcular isso com os valores que temos.

Passo 3

Convertendo a rigidez da mola para N/m:
k = 35 , N/mm = 35 times 10^3 , N/m
Então:
cc = 2 raiz60 , kg times 35,000 , N/m = 2 raiz2,100,000 approx 2 times 1450 = 2900 , kg/s

Passo 4

Agora, sabemos que a constante de amortecimento real ( c) é 30% da constante crítica:
c = 0.3 times cc = 0.3 times 2900 , kg/s = 870 , kg/s

Passo 5

Com c e cc em mãos, podemos determinar o fator de amortecimento ( zeta). A fórmula para zeta é:
zeta = ccc
Vamos calcular:
zeta = 8702900 approx 0.3

Passo 6

Agora, vamos encontrar a frequência natural amortecida ( omegad). A fórmula para omegad é:
omegad = omegan raiz1 - zeta^2
Primeiro, calculamos a frequência natural não amortecida ( omegan):
omegan = raizkm = raiz35,00060 approx raiz583.33 approx 24.16 , rad/s
Então:
omegad = 24.16 times raiz1 - 0.3^2 = 24.16 times raiz0.91 approx 24.16 times 0.954 = 23.04 , rad/s

Passo 7

Vamos calcular o decremento logarítmico ( de), que é uma medida de quanto a amplitude diminui a cada ciclo. A fórmula é:
de

Passo 8

Por fim, vamos encontrar a razão de duas amplitudes consecutivas ( An+1An). A relação entre elas é:
An+1An = e^-de

Resposta

A razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação é aproximadamente 0,373.

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