g) Determine a resposta de um acelerômetro utilizado para medir o deslocamento de MEMS. Considere que o acelerômetro é um sistema de um grau de liberdade que vibra livremente com velocidade inicial de 30 m / s e um deslocamento inicial igual a 0 m . O acelerômetro apresenta uma massa equivalente me q=4,6 cdot 10^-12 kg, uma rigidez equivalente ke q=0,380 N / m e um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente de ce q=4,93 cdot 10^-7 N s / m. Mostre a) a equação diferencial homogênea do sistema; b) a freqüência natural, o fator de amortecimento viscoso e a freqüência natural amortecida do sistema; c) a equação da resposta do sistema x(t) na forma senoidal e sua amplitude de vibração quando t=1 mu s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a resposta de um acelerômetro usado para medir o deslocamento em MEMS. A gente tem um sistema de um grau de liberdade que vibra livremente com uma velocidade inicial de 30 m/s e deslocamento inicial de 0 m. As propriedades do acelerômetro são:
  • Massa equivalente ( meq): 4,6 times 10^-12 kg
  • Rigidez equivalente ( keq): 0,380 N/m
  • Coeficiente de amortecimento viscoso equivalente ( ceq): 4,93 times 10^-7 N·s/m
Vamos precisar usar conceitos de sistemas vibratórios, como equações diferenciais homogêneas, frequência natural, fator de amortecimento e resposta do sistema.

Passo 2

a) Encontrar a equação diferencial homogênea do sistema
Primeiro, vamos lembrar que a equação diferencial para um sistema de massa-mola com amortecimento é dada por:
m d^2xdt^2 + c dxdt + k x = F(t)
Como o sistema está vibrando livremente, ou seja, sem força externa ( F(t) = 0), a equação fica homogênea:
meq d^2xdt^2 + ceq dxdt + keq x = 0
Substituindo os valores:
4,6 times 10^-12 d^2xdt^2 + 4,93 times 10^-7 dxdt + 0,380 x = 0

Passo 3

b) Calcular a frequência natural, o fator de amortecimento viscoso e a frequência natural amortecida do sistema
  1. Frequência Natural ( omegan):
A frequência natural de um sistema massa-mola sem amortecimento é dada por:
omegan = raizkm
Substituindo os valores:
omegan = raiz0,3804,6 times 10^-12 approx raiz8,26 times 10^10 approx 9,08 times 10^5 , rad/s
  1. Fator de Amortecimento Viscoso ( zeta):
O fator de amortecimento é dado por:
zeta = c2 raizm k
Substituindo os valores:
zeta = 4,93 times 10^-72 raiz4,6 times 10^-12 times 0,380 approx 4,93 times 10^-72 times raiz1,748 times 10^-12 approx 4,93 times 10^-72 times 1,32 times 10^-6 approx 0,187
  1. Frequência Natural Amortecida ( omegad):
A frequência natural amortecida é calculada por:
omegad = omegan raiz1 - zeta^2
Substituindo os valores:
omegad = 9,08 times 10^5 raiz1 - (0,187)^2 approx 9,08 times 10^5 raiz0,965 approx 9,08 times 10^5 times 0,982 approx 8,91 times 10^5 , rad/s

Passo 4

c) Encontrar a equação da resposta do sistema x(t) na forma senoidal e sua amplitude de vibração quando t = 1 mu s
Para um sistema subamortecido ( zeta < 1), a resposta pode ser escrita como:
x(t) = e^-zeta omegan t ( A cos(omegad t) + B sin(omegad t) )
Vamos determinar as constantes A e B usando as condições iniciais:
  1. Condição Inicial de Deslocamento ( x(0) = 0):
0 = e^0 (A cos(0) + B sin(0)) Rightarrow A = 0
  1. Condição Inicial de Velocidade ( dxdtg|t=0 = 30 , m/s):
Primeiro, derivamos x(t):
dxdt = e^-zeta omegan t ( -zeta omegan (A cos(omegad t) + B sin(omegad t)) + (-A omegad sin(omegad t) + B omegad cos(omegad t)) )
Aplicando t = 0 e A = 0:
30 = e^0 ( -0,187 times 9,08 times 10^5 times 0 + B times 8,91 times 10^5 times 1 ) Rightarrow B = 308,91 times 10^5 approx 3,37 times 10^-5 , m
Então, a equação da resposta fica:
x(t) = e^-0,187 times 9,08 times 10^5 t ( 3,37 times 10^-5 sin(8,91 times 10^5 t) )
Agora, vamos calcular a amplitude de vibração quando t = 1 mu s = 1 times 10^-6 , s:
A(t) = e^-0,187 times 9,08 times 10^5 times 1 times 10^-6 times 3,37 times 10^-5
Calculando o expoente:
-0,187 times 9,08 times 10^5 times 1 times 10^-6 approx -0,170
Então:
A(t) = e^-0,170 times 3,37 times 10^-5 approx 0,843 times 3,37 times 10^-5 approx 2,84 times 10^-5 , m

Resposta

A amplitude de vibração quando t = 1 mu s é aproximadamente 2,84 times 10^-5 metros.

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