g) Determine a resposta de um acelerômetro utilizado para medir o deslocamento de MEMS. Considere que o acelerômetro é um sistema de um grau de liberdade que vibra livremente com velocidade inicial de e um deslocamento inicial igual a 0 m . O acelerômetro apresenta uma massa equivalente , uma rigidez equivalente e um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente de . Mostre a) a equação diferencial homogênea do sistema; b) a freqüência natural, o fator de amortecimento viscoso e a freqüência natural amortecida do sistema; c) a equação da resposta do sistema na forma senoidal e sua amplitude de vibração quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a resposta de um acelerômetro usado para medir o deslocamento em MEMS. A gente tem um sistema de um grau de liberdade que vibra livremente com uma velocidade inicial de 30 m/s e deslocamento inicial de 0 m. As propriedades do acelerômetro são:
  • Massa equivalente ( ): kg
  • Rigidez equivalente ( ): 0,380 N/m
  • Coeficiente de amortecimento viscoso equivalente ( ): N·s/m
Vamos precisar usar conceitos de sistemas vibratórios, como equações diferenciais homogêneas, frequência natural, fator de amortecimento e resposta do sistema.

Passo 2

a) Encontrar a equação diferencial homogênea do sistema
Primeiro, vamos lembrar que a equação diferencial para um sistema de massa-mola com amortecimento é dada por:
Como o sistema está vibrando livremente, ou seja, sem força externa ( ), a equação fica homogênea:
Substituindo os valores:

Passo 3

b) Calcular a frequência natural, o fator de amortecimento viscoso e a frequência natural amortecida do sistema
  1. Frequência Natural ( ):
A frequência natural de um sistema massa-mola sem amortecimento é dada por:
Substituindo os valores:
  1. Fator de Amortecimento Viscoso ( ):
O fator de amortecimento é dado por:
Substituindo os valores:
  1. Frequência Natural Amortecida ( ):
A frequência natural amortecida é calculada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

c) Encontrar a equação da resposta do sistema na forma senoidal e sua amplitude de vibração quando
Para um sistema subamortecido ( ), a resposta pode ser escrita como:
Vamos determinar as constantes e usando as condições iniciais:
  1. Condição Inicial de Deslocamento ( ):
  1. Condição Inicial de Velocidade ( ):
Primeiro, derivamos :
Aplicando e :
Então, a equação da resposta fica:
Agora, vamos calcular a amplitude de vibração quando :
Calculando o expoente:
Então:

Resposta

A amplitude de vibração quando é aproximadamente metros.

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b) Um sistema apresenta movimento harmônico de 15 ciclos/s e a sua velocidade máxima é de . Determine o a amplitude do movimento , o período de oscilação e a máxima aceleração desse sistema. Considere .
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A respeito das afirmações a seguir, marque com (V) as alternativas que julgar verdadeiras e com (F) as alternativas que julgar falsas. As alternativas julgadas falsas deverão ser justificadas para serem avaliadas. ( 10,0 pontos)
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Inércias iguais; Distâncias do centro de gravidade para bordos iguais e formatos distintos, são iguais (a flexão de uma peça é igual do resultado da outra).
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