g) Determine a resposta de um acelerômetro utilizado para medir o deslocamento de MEMS. Considere que o acelerômetro é um sistema de um grau de liberdade que vibra livremente com velocidade inicial de e um deslocamento inicial igual a 0 m . O acelerômetro apresenta uma massa equivalente , uma rigidez equivalente e um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente de . Mostre a) a equação diferencial homogênea do sistema; b) a freqüência natural, o fator de amortecimento viscoso e a freqüência natural amortecida do sistema; c) a equação da resposta do sistema na forma senoidal e sua amplitude de vibração quando .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a resposta de um acelerômetro usado para medir o deslocamento em MEMS. A gente tem um sistema de um grau de liberdade que vibra livremente com uma velocidade inicial de 30 m/s e deslocamento inicial de 0 m. As propriedades do acelerômetro são:
Massa equivalente (): kg
Rigidez equivalente (): 0,380 N/m
Coeficiente de amortecimento viscoso equivalente (): N·s/m
Vamos precisar usar conceitos de sistemas vibratórios, como equações diferenciais homogêneas, frequência natural, fator de amortecimento e resposta do sistema.
Passo 2
a) Encontrar a equação diferencial homogênea do sistema
Primeiro, vamos lembrar que a equação diferencial para um sistema de massa-mola com amortecimento é dada por:
Como o sistema está vibrando livremente, ou seja, sem força externa (), a equação fica homogênea:
Substituindo os valores:
Passo 3
b) Calcular a frequência natural, o fator de amortecimento viscoso e a frequência natural amortecida do sistema
Frequência Natural ():
A frequência natural de um sistema massa-mola sem amortecimento é dada por:
Substituindo os valores:
Fator de Amortecimento Viscoso ():
O fator de amortecimento é dado por:
Substituindo os valores:
Frequência Natural Amortecida ():
A frequência natural amortecida é calculada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
c) Encontrar a equação da resposta do sistema na forma senoidal e sua amplitude de vibração quando
Para um sistema subamortecido (), a resposta pode ser escrita como:
Vamos determinar as constantes e usando as condições iniciais:
Condição Inicial de Deslocamento ():
Condição Inicial de Velocidade ():
Primeiro, derivamos x(t):
dxdt = e^-zeta omegan t ( -zeta omegan (A cos(omegad t) + B sin(omegad t)) + (-A omegad sin(omegad t) + B omegad cos(omegad t)) )
Aplicando t = 0 e A = 0:
30 = e^0 ( -0,187 times 9,08 times 10^5 times 0 + B times 8,91 times 10^5 times 1 ) Rightarrow B = 308,91 times 10^5 approx 3,37 times 10^-5 , m
Então, a equação da resposta fica:
x(t) = e^-0,187 times 9,08 times 10^5 t ( 3,37 times 10^-5 sin(8,91 times 10^5 t) )
Agora, vamos calcular a amplitude de vibração quando t = 1 mu s = 1 times 10^-6 , s:
A(t) = e^-0,187 times 9,08 times 10^5 times 1 times 10^-6 times 3,37 times 10^-5
Calculando o expoente:
-0,187 times 9,08 times 10^5 times 1 times 10^-6 approx -0,170
Então:
A(t) = e^-0,170 times 3,37 times 10^-5 approx 0,843 times 3,37 times 10^-5 approx 2,84 times 10^-5 , m
Resposta
A amplitude de vibração quando t = 1 mu s é aproximadamente 2,84 times 10^-5 metros.