Se B é somado a A, o resultado é 6,0 imath+1,0 jmath. Se B subtraído de A, o resultado é -4,0 imath+7,0 jmath. Determine: b) O módulo de A e o módulo de B;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que quando somamos o vetor A com o vetor B, o resultado é 6,0 imath + 1,0 jmath, e quando subtraímos B de A, o resultado é -4,0 imath + 7,0 jmath. A matéria que vamos usar aqui é álgebra vetorial, especificamente as operações de soma e subtração de vetores, além de calcular o módulo (ou tamanho) dos vetores. Para resolver, precisamos entender como manipular essas equações para encontrar os componentes de A e B e, depois, calcular seus módulos.

Passo 2

Vamos chamar as componentes dos vetores A e B de Ax, Ay, Bx e By, respectivamente. Assim, podemos escrever:
A = Ax imath + Ay jmath
B = Bx imath + By jmath
A soma dos vetores é:
A + B = (Ax + Bx) imath + (Ay + By) jmath = 6,0 imath + 1,0 jmath
E a subtração dos vetores é:
A - B = (Ax - Bx) imath + (Ay - By) jmath = -4,0 imath + 7,0 jmath

Passo 3

Agora, vamos igualar as componentes correspondentes:
Para a soma:
Ax + Bx = 6,0 (1)
Ay + By = 1,0 (2)
Para a subtração:
Ax - Bx = -4,0 (3)
Ay - By = 7,0 (4)

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar Ax, Ay, Bx e By. Primeiro, somamos as equações (1) e (3):
(Ax + Bx) + (Ax - Bx) = 6,0 + (-4,0)
2Ax = 2,0 implies Ax = 1,0
Agora, somamos as equações (2) e (4):
(Ay + By) + (Ay - By) = 1,0 + 7,0
2Ay = 8,0 implies Ay = 4,0
Com Ax e Ay encontrados, podemos substituir na equação (1) para achar Bx:
1,0 + Bx = 6,0 implies Bx = 5,0
E na equação (2) para achar By:
4,0 + By = 1,0 implies By = -3,0

Passo 5

Agora que temos as componentes dos vetores A e B:
A = 1,0 imath + 4,0 jmath
B = 5,0 imath - 3,0 jmath
Vamos calcular o módulo de cada vetor. A fórmula para o módulo de um vetor V = Vx imath + Vy jmath é:
|V| = raizVx^2 + Vy^2

Passo 6

Calculando o módulo de A:
|A| = raiz(1,0)^2 + (4,0)^2 = raiz1 + 16 = raiz17 approx 4,123
E agora o módulo de B:
|B| = raiz(5,0)^2 + (-3,0)^2 = raiz25 + 9 = raiz34 approx 5,830

Resposta

O módulo de A é aproximadamente 4,123 unidades e o módulo de B é aproximadamente 5,830 unidades.

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