se A e B têm probabilidade não nula e P(A ∩ B) = 0, então não são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que se dois eventos e têm probabilidades diferentes de zero e a probabilidade de ambos acontecerem juntos é igual a zero, então esses eventos não são independentes. A matéria aqui é Probabilidade, mais especificamente sobre eventos independentes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que significa dois eventos serem independentes e usar essa definição para analisar o que acontece quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é independência de eventos. Dois eventos e são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é expressado por:
Então, se a probabilidade de e acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais deles, eles são independentes.

Passo 3

Agora, na nossa questão, temos que e são diferentes de zero. Isso significa que ambos os eventos têm alguma probabilidade de acontecer, não são impossíveis.

Passo 4

A condição dada é que . Ou seja, a probabilidade de e acontecerem juntos é zero. Vamos comparar isso com a condição de independência que vimos anteriormente:
Se os eventos fossem independentes, então:
Mas sabemos que e são diferentes de zero, então o produto também é diferente de zero. Isso cria uma contradição, porque não pode ser que ú.

Passo 5

Portanto, se enquanto e são diferentes de zero, a única conclusão lógica é que os eventos não são independentes. A condição de independência não é satisfeita, já que o produto das probabilidades individuais não coincide com a probabilidade da interseção.

Resposta

Assim, concluímos que se e têm probabilidade não nula e , então e não são independentes.

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