se
e
têm probabilidade não nula e
, então não são independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que se dois eventos
e
têm probabilidades diferentes de zero e a probabilidade de ambos acontecerem juntos
é igual a zero, então esses eventos não são independentes. A matéria aqui é Probabilidade, mais especificamente sobre eventos independentes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que significa dois eventos serem independentes e usar essa definição para analisar o que acontece quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é independência de eventos. Dois eventos
e
são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é expressado por:
Então, se a probabilidade de
e
acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais deles, eles são independentes.
Passo 3
Agora, na nossa questão, temos que
e
são diferentes de zero. Isso significa que ambos os eventos têm alguma probabilidade de acontecer, não são impossíveis.
Passo 4
A condição dada é que
. Ou seja, a probabilidade de
e
acontecerem juntos é zero. Vamos comparar isso com a condição de independência que vimos anteriormente:
Se os eventos fossem independentes, então:
Mas sabemos que
e
são diferentes de zero, então o produto
também é diferente de zero. Isso cria uma contradição, porque não pode ser que
.
Passo 5
Portanto, se
enquanto
e
são diferentes de zero, a única conclusão lógica é que os eventos não são independentes. A condição de independência não é satisfeita, já que o produto das probabilidades individuais não coincide com a probabilidade da interseção.
Resposta
Assim, concluímos que se
e
têm probabilidade não nula e
, então
e
não são independentes.
Exercícios relacionados
Usando o teste de D (i)
Determine a solução do PVI:
.
Determine
da função
Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(b)
(b)