Determine a solução do PVI:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial. A equação é
com a condição inicial
. Vamos resolver isso passo a passo usando métodos de equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A forma padrão é:
Para isso, dividimos toda a equação original por
(supondo que
):
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante (
) é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante
:
Isso nos leva de volta à equação original, confirmando que estamos no caminho certo. Agora, a equaç��o pode ser escrita como:
Substituindo
e
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução do PVI é:
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e
em
para
Usando o teste de D (i)
se
e
têm probabilidade não nula e
, então não são independentes.