Usando o teste de D (i) sumn=1^infty n4 n^2+n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o Teste de D’Alembert (também conhecido como teste da razão) para a série . O que isso significa? Basicamente, vamos verificar se a série converge ou diverge calculando o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo an = n4n^2 + n + 1 é:
an+1 = n+14(n+1)^2 + (n+1) + 1
Vamos precisar encontrar 4(n+1)^2 + (n+1) + 1 = 4(n^2 + 2n + 1) + n + 1 + 1 = 4n^2 + 8n + 4 + n + 1 + 1 = 4n^2 + 9n + 6 , que é o termo da série para an+1 = n+14n^2 + 9n + 6 :
Vamos simplificar o denominador de :
Então, fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste de D’Alembert. Isso envolve calcular o limite da razão L = limn to infty an+1an = limn to infty n+14n^2 + 9n + 6n4n^2 + n + 1 = limn to infty (n+1)(4n^2 + n + 1)n(4n^2 + 9n + 6) quando tende ao infinito:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos o numerador:
(n+1)(4n^2 + n + 1) = n(4n^2 + n + 1) + 1(4n^2 + n + 1) = 4n^3 + n^2 + n + 4n^2 + n + 1 = 4n^3 + 5n^2 + 2n + 1
Então, a razão fica:
L = limn to infty 4n^3 + 5n^2 + 2n + 14n^3 + 9n^2 + 6n

Passo 5

Para facilitar o limite, vamos dividir numerador e denominador por L = limn to infty 4 + 5n + 2n^2 + 1n^34 + 9n + 6n^2 :
L = 4 + 0 + 0 + 04 + 0 + 0 = 44 = 1
Quando tende ao infinito, todas as frações com no denominador vão para zero:

Passo 6

Segundo o Teste de D’Alembert:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então o teste não nos dá uma resposta definitiva.

Passo 7

Quando o Teste de D’Alembert é inconclusivo ( an approx n4n^2 = 14n ), precisamos usar outro método para determinar a convergência ou divergência da série. Observando o termo geral , podemos simplificar aproximando para grandes valores de :
Isso nos lembra da série harmônica , que sabemos que diverge.

Resposta

A série diverge.

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