Usando o teste de D (i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o Teste de D’Alembert (também conhecido como teste da razão) para a série
. O que isso significa? Basicamente, vamos verificar se a série converge ou diverge calculando o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo
é:
Vamos precisar encontrar
, que é o termo da série para
:
Vamos simplificar o denominador de
:
Então, fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste de D’Alembert. Isso envolve calcular o limite da razão
quando
tende ao infinito:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, expandimos o numerador:
Então, a razão fica:
Passo 5
Para facilitar o limite, vamos dividir numerador e denominador por
:
Quando
tende ao infinito, todas as frações com
no denominador vão para zero:
Passo 6
Segundo o Teste de D’Alembert:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Passo 7
Quando o Teste de D’Alembert é inconclusivo (
), precisamos usar outro método para determinar a convergência ou divergência da série. Observando o termo geral
, podemos simplificar aproximando para grandes valores de
:
Isso nos lembra da série harmônica
, que sabemos que diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Determine a solução do PVI:
.
Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO
se
e
têm probabilidade não nula e
, então não são independentes.
Determine
da função