Se
é uma base do espaço vetorial
, então as aplicações
, T que associam a cada
os elementos
, respectivamente, pertence ao espaço vetorial
e são uma base para esse espaço (conhecido como espaço vetori dual de
. Dito isso, dados
e
uma base para
, determine
tais que
seja uma base para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar duas aplicações lineares,
e
, que formem uma base para o espaço vetorial dual
do espaço
. A base dada para
é
. Isso está relacionado ao conceito de base dual, onde buscamos funções que “selecionam” os vetores da base original de forma específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma aplicação linear no contexto de
. Uma aplicação linear
em
pega cada vetor de
e retorna um número real, seguindo as propriedades de linearidade:
No nosso caso,
, então qualquer vetor
pode ser escrito como
.
Passo 3
Vamos representar
e
como aplicações lineares gerais. Em
, uma aplicação linear pode ser escrita como:
Onde
e
são constantes reais que definem a aplicação linear.
Passo 4
Agora, queremos que
e
sejam uma base para
. Isso significa que eles devem satisfazer as seguintes condições com respeito à base
:
Passo 5
Vamos encontrar
. Usando a forma geral
, temos:
Para
:
Já sabemos que
pela primeira equação. Substituindo na segunda:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar
usando o mesmo método:
Para
:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Então,
.
Resposta
As aplicações lineares que formam uma base para
são: