Se B=u1, ldots, un é uma base do espaço vetorial U, então as aplicações T1, ldots, T que associam a cada u=alpha1 u1+ldots+alphan un in U os elementos alpha1, ldots, alphan, respectivamente, pertence ao espaço vetorial U^*=L(U, R) e são uma base para esse espaço (conhecido como espaço vetori dual de U). Dito isso, dados U=R^2 e B=(1,0),(1,1) uma base para U, determine T1, T2 in tais que T1, T2 seja uma base para U^*.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar duas aplicações lineares, e , que formem uma base para o espaço vetorial dual do espaço . A base dada para é . Isso está relacionado ao conceito de base dual, onde buscamos funções que “selecionam” os vetores da base original de forma específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma aplicação linear no contexto de T(au + bv) = aT(u) + bT(v) . Uma aplicação linear em pega cada vetor de e retorna um número real, seguindo as propriedades de linearidade:
No nosso caso, , então qualquer vetor pode ser escrito como .

Passo 3

Vamos representar T(x, y) = a x + b y e como aplicações lineares gerais. Em , uma aplicação linear pode ser escrita como:
Onde e são constantes reais que definem a aplicação linear.

Passo 4

Agora, queremos que T1(1,0) = 1 e T1(1,1) = 0 e T2(1,0) = 0 e T2(1,1) = 1 sejam uma base para . Isso significa que eles devem satisfazer as seguintes condições com respeito à base :

Passo 5

Vamos encontrar T1(1,0) = a cdot 1 + b cdot 0 = a = 1 . Usando a forma geral T1(1,1) = a cdot 1 + b cdot 1 = a + b = 0 , temos:
Para 1 + b = 0 Rightarrow b = -1 :
Já sabemos que pela primeira equação. Substituindo na segunda:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos encontrar T2(1,0) = a cdot 1 + b cdot 0 = a = 0 usando o mesmo método:
Para T2(1,1) = a cdot 1 + b cdot 1 = a + b = 1 :
0 + b = 1 Rightarrow b = 1
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .

Resposta

As aplicações lineares que formam uma base para T1(x, y) = x - y e T2(x, y) = y são:

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