Mostre que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC , cujos vértices são , é dado por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o baricentro do triângulo , com vértices em , e , tem coordenadas dadas por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre o baricentro de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o baricentro. O baricentro é o ponto de interseção das medianas do triângulo. Uma mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Passo 3

Vamos encontrar as coordenadas do ponto médio de cada lado. Por exemplo, o ponto médio do lado tem coordenadas:
Isso porque a coordenada x do ponto médio é a média das coordenadas x dos pontos B e C, e o mesmo vale para a coordenada y.

Passo 4

Agora, a mediana que sai do vértice até o ponto médio é uma reta que passa por e .

Passo 5

O baricentro divide cada mediana em uma razão de 2:1, ou seja, a distância de até o vértice é o dobro da distância de até o ponto médio.

Passo 6

Então, para encontrar as coordenadas de , podemos calcular a média das coordenadas dos três vértices:
Isso porque o baricentro é o ponto que equilibra as coordenadas dos vértices.

Resposta

Portanto, as coordenadas do baricentro do triângulo são:

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