Verifique qual das matrizes abaixo são semelhantes:
(a) e
(b) e
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes semelhantes! O enunciado nos pede para verificar quais das matrizes apresentadas são semelhantes. Para isso, precisamos lembrar que duas matrizes são semelhantes se existir uma matriz invertível tal que . Vamos analisar cada par de matrizes (a), (b) e © para ver quais são semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa matrizes serem semelhantes. Basicamente, elas representam a mesma transformação linear, mas em bases diferentes. Isso implica que elas têm os mesmos autovalores e a mesma estrutura geral. Uma forma prática de verificar se duas matrizes são semelhantes é comparar seus polinômios característicos e diagonais quando possível.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a):
Calculamos o polinômio característico de cada uma:
Para :
Para :
Os polinômios característicos são diferentes, então e não são semelhantes.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b):
Calculando os polinômios característicos:
Para :
Expandindo:
Para :
Os polinômios característicos são iguais ( ), então e são semelhantes.

Passo 5

Finalmente, a parte ©:
Vamos calcular os polinômios característicos:
Para :
Para :
Para que as matrizes sejam semelhantes, os polinômios característicos devem ser iguais:
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
  • Coeficiente de : iguais.
  • Coeficiente de : .
  • Termo constante: .
Como , temos . Mas e são não negativos, a única solução é .

Resposta

Apenas os pares das letras (b) e © são semelhantes, sendo que na parte ©, as matrizes são semelhantes se e .

Exercícios relacionados

(j) Seja U um espaço vetorial de dimensão sobre e sejam B e bases de U. Qual é a relação entre e ?
Sejam e bases de . Determine , onde є é definido por , para todo .
Seja uma base de um espaço vetorial sobre . Sendo dados por e , determine em relação à base as matrizes dos seguintes operadores lineares: , (caso exista) e (caso exista).
Se é uma base do espaço vetorial , então as aplicações , T que associam a cada os elementos , respectivamente, pertence ao espaço vetorial e são uma base para esse espaço (conhecido como espaço vetori dual de . Dito isso, dados e uma base para , determine tais que seja uma base para .