Verifique qual das matrizes abaixo são semelhantes:
(a)
e
(b)
e
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes semelhantes! O enunciado nos pede para verificar quais das matrizes apresentadas são semelhantes. Para isso, precisamos lembrar que duas matrizes são semelhantes se existir uma matriz invertível
tal que
. Vamos analisar cada par de matrizes (a), (b) e © para ver quais são semelhantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa matrizes serem semelhantes. Basicamente, elas representam a mesma transformação linear, mas em bases diferentes. Isso implica que elas têm os mesmos autovalores e a mesma estrutura geral. Uma forma prática de verificar se duas matrizes são semelhantes é comparar seus polinômios característicos e diagonais quando possível.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a):
Calculamos o polinômio característico de cada uma:
Para :
Para
Para
:
Os polinômios característicos são diferentes, então
e
não são semelhantes.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b):
Calculando os polinômios característicos:
Para :
Para
Expandindo:
Para
:
Os polinômios característicos são iguais (
), então
e
são semelhantes.
Passo 5
Finalmente, a parte ©:
Vamos calcular os polinômios característicos:
Para :
Para
Para
:
Para que as matrizes sejam semelhantes, os polinômios característicos devem ser iguais:
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
- Coeficiente de
: iguais. - Coeficiente de
: → . - Termo constante:
.
Como
, temos
. Mas
e
são não negativos, a única solução é
.
Resposta
Apenas os pares das letras (b) e © são semelhantes, sendo que na parte ©, as matrizes são semelhantes se
e
.
Exercícios relacionados
(j) Seja U um espaço vetorial de dimensão
sobre
e sejam B e
bases de U. Qual é a relação entre
e
?
Sejam
e
bases de
. Determine
, onde є
é definido por
, para todo
.
Seja
uma base de um espaço vetorial
sobre
. Sendo
dados por
e
, determine em relação à base
as matrizes dos seguintes operadores lineares:
,
(caso exista) e
(caso exista).
Se
é uma base do espaço vetorial
, então as aplicações
, T que associam a cada
os elementos
, respectivamente, pertence ao espaço vetorial
e são uma base para esse espaço (conhecido como espaço vetori dual de
. Dito isso, dados
e
uma base para
, determine
tais que
seja uma base para
.