Verifique qual das matrizes abaixo são semelhantes:
(a) (ll0 & 1 0 & 0) e (ll1 & 1 0 & 0)
(b) (cc-1 & -2 1 & 2) e (ll1 & 0 0 & 0)
© (cca & -b b & a) e(ccc & 0 0 & -c), a, b, c in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes semelhantes! O enunciado nos pede para verificar quais das matrizes apresentadas são semelhantes. Para isso, precisamos lembrar que duas matrizes são semelhantes se existir uma matriz invertível tal que . Vamos analisar cada par de matrizes (a), (b) e © para ver quais são semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa matrizes serem semelhantes. Basicamente, elas representam a mesma transformação linear, mas em bases diferentes. Isso implica que elas têm os mesmos autovalores e a mesma estrutura geral. Uma forma prática de verificar se duas matrizes são semelhantes é comparar seus polinômios característicos e diagonais quando possível.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a):
A = 0 & 1 0 & 0 e B = 1 & 1 0 & 0
Calculamos o polinômio característico de cada uma:
Para det(A - lambda I) = det -lambda & 1 0 & -lambda = lambda^2 :
det(B - lambda I) = det 1 - lambda & 1 0 & -lambda = (1 - lambda)(-lambda) = -lambda + lambda^2
Para :
Os polinômios característicos são diferentes, então e não são semelhantes.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b):
A = -1 & -2 1 & 2 e B = 1 & 0 0 & 0
Calculando os polinômios característicos:
Para det(A - lambda I) = det -1 - lambda & -2 1 & 2 - lambda = (-1 - lambda)(2 - lambda) - (-2)(1) = (-1 - lambda)(2 - lambda) + 2 :
(-1)(2) + (-1)(-lambda) + (-lambda)(2) + (-lambda)(-lambda) + 2 = -2 + lambda - 2lambda + lambda^2 + 2 = lambda^2 - lambda
Expandindo:
det(B - lambda I) = det 1 - lambda & 0 0 & -lambda = (1 - lambda)(-lambda) = -lambda + lambda^2
Para :
Os polinômios característicos são iguais ( ), então e são semelhantes.

Passo 5

Finalmente, a parte ©:
A = a & -b b & a e B = c & 0 0 & -c , a, b, c in R
Vamos calcular os polinômios característicos:
Para det(A - lambda I) = det a - lambda & -b b & a - lambda = (a - lambda)^2 + b^2 :
det(B - lambda I) = det c - lambda & 0 0 & -c - lambda = (c - lambda)(-c - lambda) = -c^2 + lambda^2
Para (a - lambda)^2 + b^2 = lambda^2 - c^2 :
a^2 - 2alambda + lambda^2 + b^2 = lambda^2 - c^2
Para que as matrizes sejam semelhantes, os polinômios característicos devem ser iguais:
a^2 + b^2 - 2alambda = -c^2
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
  • Coeficiente de : iguais.
  • Coeficiente de : .
  • Termo constante: .
Como , temos . Mas e são não negativos, a única solução é .

Resposta

Apenas os pares das letras (b) e © são semelhantes, sendo que na parte ©, as matrizes são semelhantes se e .

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