Seja uma base de um espaço vetorial sobre . Sendo dados por e , determine em relação à base as matrizes dos seguintes operadores lineares: , (caso exista) e (caso exista).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem um espaço vetorial com uma base e dois operadores lineares e definidos sobre . Nosso objetivo é encontrar as matrizes desses operadores em relação à base , além de algumas combinações e composições desses operadores. Para isso, vamos precisar usar conceitos de bases, operadores lineares e representação matricial desses operadores. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de um operador linear em relação a uma base, a gente precisa ver como ele transforma cada vetor da base e expressar o resultado de volta na base . Cada coluna da matriz será a representação das imagens dos vetores da base sob o operador.
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz do operador . Sabemos que:
Cada uma dessas imagens será uma coluna na matriz de .
Passo 4
Vamos expressar cada imagem em termos das coordenadas na base :
corresponde ao vetor
corresponde ao vetor
corresponde ao vetor
Passo 5
Assim, a matriz de [T]B = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 em relação à base fica:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para o operador G(v1) = 2v1 + v3 . As definições são:
G(v2) = v1
G(v3) = v2 - 3v1
Passo 7
Expressando as imagens em coordenadas de 2 0 1 :
1 0 0 corresponde a -3 1 0
corresponde a
corresponde a
Passo 8
Logo, a matriz de [G]B = 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 em relação à base é:
Passo 9
Agora, vamos calcular a matriz de [T + G]B = [T]B + [G]B = 1+2 & 1+1 & 0+(-3) -1+0 & 0+0 & 1+1 0+1 & 1+0 & 0+0 = 3 & 2 & -3 -1 & 0 & 2 1 & 1 & 0 . Sabemos que a soma de dois operadores lineares corresponde à soma das suas matrizes. Então, basta somar e elemento a elemento:
Por último, vamos tentar encontrar a inversa de [T]B = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 , det([T]B) = 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) - 1 cdot (-1 cdot 0 - 1 cdot 1) + 0 cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 1 cdot (-1) - 1 cdot (-1) + 0 = -1 + 1 + 0 = 0 , se ela existir. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, não é invertível. Portanto, não existe.
Passo 15
Como não é invertível, também não podemos encontrar porque a inversa da composição só existe se ambos os operadores forem invertíveis, o que não é o caso aqui.
Resposta
Abaixo estão as matrizes dos operadores lineares em relação à base [T]B = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 :
[G]B = 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0
[T + G]B = 3 & 2 & -3 -1 & 0 & 2 1 & 1 & 0
[2T - G]B = 0 & 1 & 3 -2 & 0 & 1 -1 & 2 & 0
[T circ G]B = 2 & 1 & -2 -1 & -1 & 3 0 & 0 & 1
[G circ T]B = 1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0
[T^2 + G^2]B = 1 & 3 & -4 0 & 0 & 0 1 & 1 & -2
Os operadores e não existem porque não é inversível.