Seja uma base de um espaço vetorial sobre . Sendo dados por e , determine em relação à base as matrizes dos seguintes operadores lineares: , (caso exista) e (caso exista).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem um espaço vetorial com uma base e dois operadores lineares e definidos sobre . Nosso objetivo é encontrar as matrizes desses operadores em relação à base , além de algumas combinações e composições desses operadores. Para isso, vamos precisar usar conceitos de bases, operadores lineares e representação matricial desses operadores. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de um operador linear em relação a uma base, a gente precisa ver como ele transforma cada vetor da base e expressar o resultado de volta na base . Cada coluna da matriz será a representação das imagens dos vetores da base sob o operador.
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz do operador . Sabemos que:
Cada uma dessas imagens será uma coluna na matriz de .
Passo 4
Vamos expressar cada imagem em termos das coordenadas na base :
corresponde ao vetor
corresponde ao vetor
corresponde ao vetor
Passo 5
Assim, a matriz de em relação à base fica:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para o operador . As definições são:
Passo 7
Expressando as imagens em coordenadas de :
corresponde a
corresponde a
corresponde a
Passo 8
Logo, a matriz de em relação à base é:
Passo 9
Agora, vamos calcular a matriz de . Sabemos que a soma de dois operadores lineares corresponde à soma das suas matrizes. Então, basta somar e elemento a elemento:
Passo 10
Para encontrar , multiplicamos a matriz de por 2 e subtraímos a matriz de :
Então,
Passo 11
Agora, vamos ver como calcular a composição . A composição de operadores significa aplicar um após o outro. Na matriz, isso corresponde a multiplicar as matrizes na ordem inversa, ou seja, .
Vamos multiplicar por :
Passo 12
Para a composição , multiplicamos por :
Passo 13
Vamos agora calcular . Primeiro, precisamos encontrar e , que são as composições dos operadores consigo mesmos.
Calculando :
Calculando :
Então,
Passo 14
Por último, vamos tentar encontrar a inversa de , , se ela existir. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, não é invertível. Portanto, não existe.
Passo 15
Como não é invertível, também não podemos encontrar porque a inversa da composição só existe se ambos os operadores forem invertíveis, o que não é o caso aqui.
Resposta
Abaixo estão as matrizes dos operadores lineares em relação à base :
Os operadores e não existem porque não é inversível.