Seja B=v1, v2, v3 uma base de um espaço vetorial V sobre R. Sendo T, G in L(V) dados por T(v1)=v1-v2, T(v2)=v1+v3, T(v3)=v2, G(v1)=2 v1+v3, G(v2)=v1 e G(v3)=v2-3 v1, determine em relação à base B as matrizes dos seguintes operadores lineares: T, G, T+G, 2 T-G, T circ G, G circ T, T^2+G^2, T^-1 (caso exista) e (T circ G)^-1 (caso exista).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem um espaço vetorial com uma base e dois operadores lineares e definidos sobre . Nosso objetivo é encontrar as matrizes desses operadores em relação à base , além de algumas combinações e composições desses operadores. Para isso, vamos precisar usar conceitos de bases, operadores lineares e representação matricial desses operadores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de um operador linear em relação a uma base, a gente precisa ver como ele transforma cada vetor da base e expressar o resultado de volta na base . Cada coluna da matriz será a representação das imagens dos vetores da base sob o operador.

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz do operador T(v1) = v1 - v2 . Sabemos que:
T(v2) = v1 + v3
T(v3) = v2
Cada uma dessas imagens será uma coluna na matriz de .

Passo 4

Vamos expressar cada imagem em termos das coordenadas na base 1 -1 0 :
  • 1 0 1 corresponde ao vetor 0 1 0
  • corresponde ao vetor
  • corresponde ao vetor

Passo 5

Assim, a matriz de [T]B = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 em relação à base fica:

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para o operador G(v1) = 2v1 + v3 . As definições são:
G(v2) = v1
G(v3) = v2 - 3v1

Passo 7

Expressando as imagens em coordenadas de 2 0 1 :
  • 1 0 0 corresponde a -3 1 0
  • corresponde a
  • corresponde a

Passo 8

Logo, a matriz de [G]B = 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 em relação à base é:

Passo 9

Agora, vamos calcular a matriz de [T + G]B = [T]B + [G]B = 1+2 & 1+1 & 0+(-3) -1+0 & 0+0 & 1+1 0+1 & 1+0 & 0+0 = 3 & 2 & -3 -1 & 0 & 2 1 & 1 & 0 . Sabemos que a soma de dois operadores lineares corresponde à soma das suas matrizes. Então, basta somar e elemento a elemento:

Passo 10

Para encontrar 2[T]B = 2 cdot 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 = 2 & 2 & 0 -2 & 0 & 2 0 & 2 & 0 , multiplicamos a matriz de 2[T]B - [G]B = 2-2 & 2-1 & 0-(-3) -2-0 & 0-0 & 2-1 0-1 & 2-0 & 0-0 = 0 & 1 & 3 -2 & 0 & 1 -1 & 2 & 0 por 2 e subtraímos a matriz de :
Então,

Passo 11

Agora, vamos ver como calcular a composição [T circ G]B = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 cdot 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 = 1 cdot 2 + 1 cdot 0 + 0 cdot 1 & 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 0 cdot 0 & 1 cdot (-3) + 1 cdot 1 + 0 cdot 0 -1 cdot 2 + 0 cdot 0 + 1 cdot 1 & -1 cdot 1 + 0 cdot 0 + 1 cdot 0 & -1 cdot (-3) + 0 cdot 1 + 1 cdot 0 0 cdot 2 + 1 cdot 0 + 0 cdot 1 & 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 0 cdot 0 & 0 cdot (-3) + 1 cdot 1 + 0 cdot 0 = 2 & 1 & -2 -1 & -1 & 3 0 & 0 & 1 . A composição de operadores significa aplicar um após o outro. Na matriz, isso corresponde a multiplicar as matrizes na ordem inversa, ou seja, .
Vamos multiplicar por :

Passo 12

Para a composição [G circ T]B = 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 cdot 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 = 2 cdot 1 + 1 cdot (-1) + (-3) cdot 0 & 2 cdot 1 + 1 cdot 0 + (-3) cdot 1 & 2 cdot 0 + 1 cdot 1 + (-3) cdot 0 0 cdot 1 + 0 cdot (-1) + 1 cdot 0 & 0 cdot 1 + 0 cdot 0 + 1 cdot 1 & 0 cdot 0 + 0 cdot 1 + 1 cdot 0 1 cdot 1 + 0 cdot (-1) + 0 cdot 0 & 1 cdot 1 + 0 cdot 0 + 0 cdot 1 & 1 cdot 0 + 0 cdot 1 + 0 cdot 0 = 1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 , multiplicamos por :

Passo 13

Vamos agora calcular [T^2]B = [T]B cdot [T]B = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 cdot 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 = 1cdot1 + 1cdot(-1) + 0cdot0 & 1cdot1 + 1cdot0 + 0cdot1 & 1cdot0 + 1cdot1 + 0cdot0 -1cdot1 + 0cdot(-1) + 1cdot0 & -1cdot1 + 0cdot0 + 1cdot1 & -1cdot0 + 0cdot1 + 1cdot0 0cdot1 + 1cdot(-1) + 0cdot0 & 0cdot1 + 1cdot0 + 0cdot1 & 0cdot0 + 1cdot1 + 0cdot0 = 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 . Primeiro, precisamos encontrar [G^2]B = [G]B cdot [G]B = 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 cdot 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 = 2cdot2 + 1cdot0 + (-3)cdot1 & 2cdot1 + 1cdot0 + (-3)cdot0 & 2cdot(-3) + 1cdot1 + (-3)cdot0 0cdot2 + 0cdot0 + 1cdot1 & 0cdot1 + 0cdot0 + 1cdot0 & 0cdot(-3) + 0cdot1 + 1cdot0 1cdot2 + 0cdot0 + 0cdot1 & 1cdot1 + 0cdot0 + 0cdot0 & 1cdot(-3) + 0cdot1 + 0cdot0 = 1 & 2 & -5 1 & 0 & 0 2 & 1 & -3 e [T^2 + G^2]B = [T^2]B + [G^2]B = 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 + 1 & 2 & -5 1 & 0 & 0 2 & 1 & -3 = 1 & 3 & -4 0 & 0 & 0 1 & 1 & -2 , que são as composições dos operadores consigo mesmos.
Calculando :
Calculando :
Então,

Passo 14

Por último, vamos tentar encontrar a inversa de [T]B = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 , det([T]B) = 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) - 1 cdot (-1 cdot 0 - 1 cdot 1) + 0 cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 1 cdot (-1) - 1 cdot (-1) + 0 = -1 + 1 + 0 = 0 , se ela existir. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, não é invertível. Portanto, não existe.

Passo 15

Como não é invertível, também não podemos encontrar porque a inversa da composição só existe se ambos os operadores forem invertíveis, o que não é o caso aqui.

Resposta

Abaixo estão as matrizes dos operadores lineares em relação à base [T]B = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 :
[G]B = 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0
[T + G]B = 3 & 2 & -3 -1 & 0 & 2 1 & 1 & 0
[2T - G]B = 0 & 1 & 3 -2 & 0 & 1 -1 & 2 & 0
[T circ G]B = 2 & 1 & -2 -1 & -1 & 3 0 & 0 & 1
[G circ T]B = 1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0
[T^2 + G^2]B = 1 & 3 & -4 0 & 0 & 0 1 & 1 & -2
Os operadores e não existem porque não é inversível.

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