(b) Usando a identidade da alternativa anterior, mostre que, se cos z1 = cos z2, então pelo menos um dos dois números z1 + z2 e z1 - z2 é um múltiplo inteiro de 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se , então pelo menos um dos dois números ou é um múltiplo inteiro de . Vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente sobre as propriedades da função cosseno e suas identidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a função cosseno é periódica, ou seja, ela se repete a cada . Isso significa que , onde é qualquer número inteiro.

Passo 3

Outra coisa importante é que . Isso nos mostra que o cosseno de um ângulo é igual ao cosseno do seu negativo.

Passo 4

Agora, se temos que , isso implica que pode ser igual a mais algum múltiplo de , ou que seja o negativo de mais algum múltiplo de . Em forma matemática, isso fica:

Passo 5

Vamos reorganizar essas equações para ver o que elas nos dizem sobre e :
  1. Se , ent��o:
Isso mostra que é um múltiplo inteiro de .
  1. Se , então:
Isso mostra que é um múltiplo inteiro de .

Resposta

Portanto, se , então pelo menos um dos números ou é um múltiplo inteiro de .

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