Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para expressar a função trigonométrica
na forma
. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas aplicadas a números complexos. Para isso, vamos precisar entender como calcular o valor de
quando o ângulo é um número imaginário puro, ou seja, da forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a tangente de um número complexo
pode ser expressa em termos das funções seno e cosseno:
No nosso caso,
. Então, precisamos calcular
e
.
Passo 3
As funções seno e cosseno para argumentos imaginários puros podem ser expressas usando funções hiperbólicas. As fórmulas são:
Onde
é um número real e
e
são as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente.
Passo 4
Aplicando essas fórmulas ao nosso caso, onde
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão da tangente:
Passo 6
Sabemos que
. Portanto, podemos simplificar a expressão acima:
Passo 7
Portanto, a expressão
na forma
é: