Expresse o valor das seguintes funções trigonométricas e hiperbólicas na forma a + i b.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para expressar a função trigonométrica na forma . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas aplicadas a números complexos. Para isso, vamos precisar entender como calcular o valor de quando o ângulo é um número imaginário puro, ou seja, da forma .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente de um número complexo z pode ser expressa em termos das funções seno e cosseno:
No nosso caso, . Então, precisamos calcular e .

Passo 3

As funções seno e cosseno para argumentos imaginários puros podem ser expressas usando funções hiperbólicas. As fórmulas são:
Onde b é um número real e e são as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente.

Passo 4

Aplicando essas fórmulas ao nosso caso, onde :

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão da tangente:

Passo 6

Sabemos que . Portanto, podemos simplificar a expressão acima:

Passo 7

Portanto, a expressão na forma é:

Resposta

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